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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.85 Demuestra que si u, v y w son una base ortonormal de R3 (es decir, si
los tres son unitarios y dos a dos son perpendiculares), entonces para cualquier x ∈ R3 se
tiene que
x = (x · u) u + (x · v) v + (x · w) w .
EJERCICIO 1.86 Escribe a los vectores (1, 0), (0, 1), (2, 1) y (−1, 3) como combinación
lineal de u = (3/5, 4/5) y v = (4/5, −3/5), (es decir, como t u + s v con t y s apropiadas).

1.10.1

Fórmula geométrica del producto interior

Como consecuencia del corolario anterior obtenemos un resultado importante que nos
dice que el producto interior puede definirse en términos de la norma y el ángulo entre
vectores.

v
®

u

Teorema 1.10.2 Sean u y v dos vectores en R2 y α el ángulo entre ellos,
entonces
u · v = |u| |v| cos α .

Demostración. Si u = 0 (o v = 0) la igualdad anterior se cumple (pues ambos lados
son 0); podemos suponer entonces que ambos son distintos de cero. Ahora podemos
reescalar a u (y a v) para ser unitarios (pues tiene sentido (|u|−1 )u que es un vector
unitario) manteniendo el ángulo entre ellos. Y por el Corolario 1.10.1
cos α = (

1
1
u·v
)u·( )v =
|u|
|v|
|u| |v|

de donde se sigue imediatamente el teorema.

¤

De esta fórmula geométrica para el producto interior, se obtiene que |u · v| =
|cos α| |u| |v| , asi que la desigualdad de Schwartz (|u · v| ≥ |u| |v|) es equivalente a
|cos α| ≤ 1.
EJERCICIO 1.87 Demuestra La ley de los cosenos para vectores, es decir, que dados
dos vectores u, v ∈ R2 con ángulo α entre ellos, se cumple que
|u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos α .

Observa que el Teorema de Pitágoras es un caso especial.
EJERCICIO 1.88 Encuentra la distancia de los puntos p1 = (0, 5), p2 = (4, 0) y p3 = (−1, 1)
a la recta ` = {t(4, 3) | t ∈ R}.