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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Hay que remarcar que a partir de R3 ya no tiene sentido hablar de ángulos dirigidos, esto sólo se puede hacer en el plano. Pues si tomamos dos vectores no nulos
u y v en R3 , no hay manera de decir si el viaje angular de u hacia v es positivo o
negativo. Esto dependería de escoger un lado del plano para “verlo” y ver si va contra
o con el reloj, pero cualquiera de los dos lados son “iguales” y desde cada uno se “ve”
lo contrario del otro; no hay una manera coherente de decidir. Lo que sí se puede
decir es cuándo tres vectores están orientados positivamente, pero esto se verá mucho
más adelante. De tal manera que a partir de R3 , sólo el ángulo entre vectores está
definido, y tiene valores entre 0 y π; donde los extremos corresponden a paralelismo
pero con la misma dirección (ángulo 0) o la contraria (ángulo π).
EJERCICIO 1.89 Sean u y v, dos vectores unitarios y ortogonales en R3 . Demuestra que
para cualquier x ∈ R3 existe un único w ∈ hu, vi (el plano generado por u y v) tal que
x − w es ortogonal a u y a v; al punto w se le llama la proyección ortogonal de x al plano
hu, vi. ¿Puedes concluir que la distancia del punto x al plano hu, vi es
q
|x|2 − (x · u)2 − (x · v)2 ?

1.11

Distancia

Esta sección cierra el capítulo con una breve discusión sobre el concepto euclidiano
de distancia. Que se deduce naturalmente de la norma
Dados dos puntos p, q ∈ Rn se puede definir su distancia euclidiana, o simplemente su distancia, d(p, q), como la norma de su diferencia, es decir, como la
magnitud del vector que lleva a uno en otro, i.e.,
q
d(p, q) = |p − q| ,
p-q

p

que explicitamente en coordenadas da la fórmula (en R2 )
q
d((x1 , y1 ) , (x2 , y2 )) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 .
Las propiedades básicas de la distancia se reúnen en el siguiente
Teorema 1.11.1 Para todos los vectores x, y, z ∈ Rn se cumple que
i).
ii).
iii).
iv).

d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(x, y) = d(y,x)
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)