72

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

necesarios el Postulado IV será cierto, o tomemóslo en su asepción numérica trivial,
para concluir esta discución con la que arrancamos el libro.
En base a los axiomas de los números reales construimos El Plano Euclidiano,
2
E , con todo y sus nociones básicas que cumplen los postulados de Euclides. Se
tiene entonces que para estudiarlo son igualmente validos el método sintético (el que
usaban los griegos pues sus axiomas ya son ciertos) o el analítico (que abrió Descartes
y estamos siguiendo). En este último método siempre hay elementos del primero, no
siempre es más directo irse a coordenadas; no hay un divorcio y en general es muy
dificil trazar la linea que los separa, además no vale la pena. No hay que preocuparse
de eso, en cada momento agarra uno lo que conviene. Pero sí hay que hacer enfásis
en la enorme ventaja que dió el método cartesiano, al construir de golpe (y sólo con
un poquito de esfuerzo extra) espacios euclidianos para todas las dimensiones. Es un
método que permitió generalizar y abrir, por tanto, nuevos horizontes. Y no sólo en
cuestión de dimensiones.
Como se verá en capítulos subsiguientes, siguiendo el método analítico se pueden
construir espacios de dimensión 2 con formas “raras” de medir ángulos y distancias
que los hacen cumplir todos los axiomas menos el Quinto, y haciéndolos entonces
espacios no-euclidianos. Pero esto vendrá a su tiempo; por el momento y para cerrar
el círculo de esta discución, reescribiremos con la noción de distancia el Teorema
con el que empezamos, cuya demostración se deja como ejercicio, y donde, nótese,
tenemos el extra del “si y sólo si”.
Se puede definir ángulo en tercias ordenadas de puntos. De nuevo
z
refiriéndose al ángulo que ya definimos entre vectores (haciendo que el
punto de enmedio sea como el orígen)

x
y

∠xyz := ang ((x − y), (z − y)) = arccos

(x − y) · (z − y)
.
|x − y| |z − y|

Y entonces tenemos:
Teorema 1.11.2 (Pitágoras) Dados tres puntos x, y, z en
En , se tiene que
d(x, z)2 = d(x, y)2 + d(y, z)2

⇔

z
x

∠xyz = π/2
¤

y

Para retomar el hilo de la corriente principal del texto, en los siguientes ejercicios
vemos cómo con la noción de distancia se pueden reconstruir objetos básicos como
segmentos y rayos, que juntos dan las lineas; y delineamos un ejemplo de un espacio
métrico que dá un plano con una geometría “rara”.
EJERCICIO 1.93 Demuestra esta versión del Teorema de Pitágoras.