1.11. DISTANCIA

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EJERCICIO 1.94 Demuestra que el segmento de x a y es el conjunto
xy = {z | d(x, y) = d(x, z) + d(z, y)} .
EJERCICIO 1.95 Demuestra que el rayo que parte de y desde x (es decir la continuación
de la recta por x y y más allá de y) es el conjunto {z | d(x, y) + d(y, z) = d(x, z)}.

*EJERCICIO 1.96 (Un ejemplo cotidiano de otro espacio métrico). El plano con la métrica
de “Manhattan” (en honor de la famosísima y bien cuadriculada ciudad) se define como R2
con la función de distancia
dm ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := |y1 − x1 | + |y2 − x2 | ;
pensando que para ir de un punto a otro sólo se puede viajar en dirección horizontal o
vertical (como en las calles de una ciudad).
a).- Demuestra que la métrica de manhattan cumple el Teorema 1.11.1.
b).- Dibuja el conjunto de puntos con distancia 1 al orígen; ¿cómo son los círculos?
c).- ¿Cómo son los segmentos (definidos por la distancia como en el ejercicio de arriba)?
d).- ¿Cómo son los rayos?

1.11.2

Distancia de un punto a una recta

Consideremos el siguiente problema. Nos dan una recta
`:

p

n·x=c

y un punto p (que puede estar fuera o dentro de ella); y se nos
pregunta cuál es la distancia de p a `, que podemos denotar
d(p, `).
q
`
Es más fácil resolverlo si lo pensamos junto con un problema
aparentemente más complicado: ¿cuál es el punto de ` más cercano a p? Llamémoslo q ∈ `, aunque sea incógnito. El meollo del asunto es que la
recta por p y q debe ser ortogonal a `. Es decir, si el segmento pq es ortogonal a `
entonces q es el punto en ` más cercano a p. Para demostrarlo considérese cualquier
otro punto x ∈ ` y el triángulo rectángulo x, q, p y apliquése el Teorema de Pitágoras
para ver que d (x, p) ≥ d (q, p). Como la dirección ortogonal a ` es precisamente n,
entonces debe existir t ∈ R tal que q − p = t n. La nueva incógnita t nos servirá para
medir la distancia de p a `. Tenemos entonces que nuestras incógnitas q y t cumplen
las siguientes ecuaciones
n·q = c
q− p = tn ,
la primera dice que q ∈ ` y la segunda que el segmento pq es ortogonal a `.

x
n