1.11. DISTANCIA

1.11.3

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El determinante como área dirigida

No estamos en posición de desarrollar una teoría general de la noción de área, se
requieren ideas de cálculo para eso. Pero sí podemos trabajarla para figuras simples
como triángulos y paralelogramos. Se define área de un paralelogramo de manera
euclidiana (como en secundaria), es decir, (base) × (altura). Veremos que se cálcula
con un viejo conocido.
Nos encontramos primero al determinante asociado a sistemas de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas. Despues, definimos el determinante de dos vectores en
R2 , otra vez por sistemas de ecuaciones y vimos que detecta (cuando es cero) el
paralelismo. Ahora podemos darle una interpretación geométrica en todos los casos.
Teorema 1.11.3 Sean u y v dos vectores cualesquiera en R2 . El área del paralelogramo que definen u y v es |det (u, v)|. Además det (u, v) ≥ 0 cuando el movimiento
→ (u, v) ∈ [0, π]) y det (u, v) ≤ 0 cuando
angular más corto de u a v es positivo ( −
ang
−
→ (u, v) ∈ [−π, 0].
ang
Demostración.
Podemos tomar como base del paralelogramo
en cuestión al vector u, es decir, (base) en la fórmula (base)×(altura)
es |u|, y suponemos que u 6= 0. La áltura, h digamos, es entonces
la distancia de v, pensado como punto, a la recta ` generada por
u. Esta recta tiene ecuación normal u⊥ · x = 0. Entonces, por el
teorema anterior se tiene que
h=

¯
¡
¢¯
¯0 − u⊥ · v ¯
|u⊥ |

¯ ⊥ ¯
¯u · v¯
=
.
|u|

v
h

u

0

Al multiplicar por la base se obtiene que el área del paralelogramo es el valor absoluto
del determinante
¯ ⊥ ¯
¯u · v¯
¯
¯
|u| = ¯u⊥ · v¯ = |det (u, v)| .
|u|

Para ver lo que significa el signo de det (u, v), obsérvese que la recta `, generada
por u, parte al plano en dos semiplanos. En uno de ellos se
encuentra su compadre ortogonal u⊥ , este es el lado positivo, pues
u
al tomar c ≥ 0 las ecuaciones ¯u⊥ ·¯x = c definen rectas paralelas a
2
⊥
⊥
+
`, y una de ellas (cuando c = ¯u ¯ > 0) pasa por u ; como estas
⊥
rectas llenan (ashuran) todo ese semiplano, entonces u · v ≥ 0 si
- h
0
y sólo si v esta en el lado positivo de `. Analogamente, u⊥ · v < 0
v
si y sólo si v esta en el mismo lado de ` que −u⊥ , que llamamos
el lado negativo.

`