1.11. DISTANCIA

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EJERCICIO 1.102 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos en R3 que equidistan de dos
puntos? Describe la demostración.

1.11.5

Bisectrices y ecuaciones unitarias

Preguntamos ahora cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de
dos rectas `1 y `2 . De todas las ecuaciones normales que definen a estas rectas,
conviene escoger una donde el vector normal es unitario para que las
distancias sean más fáciles de expresar. Tal ecuación se llama unitaria
x
y se obtiene de cualquier ecuación normal dividiendo –ambos lados
`2
de la ecuación, por supuesto– entre la norma del vector normal. Sean
1
entonces u1 , u2 ∈ S y c1 , c2 ∈ R tales que para i = 1, 2

`1

`i : ui · x = ci
Por la fórmula de la Sección 1.11.2 se tiene entonce que los puntos x que equidistan
de `1 y `2 son presisamente los que cumplen con la ecuación
|u1 · x − c1 | = |u2 · x − c2 |
Ahora bien, si el valor absoluto de dos números reales coincide entonces o son
iguales o son inversos aditivos, lo cuál se expresa elegantemente de la siguiente manera:
|a| = |b|

⇔

(a + b) (a − b) = 0

Que, aplicado a nuestra ecuación anterior, nos dice que el lugar geométrico que estamos buscando esta determinado por la ecuación
(u1 · x − c1 + u2 · x − c2 ) (u1 · x − c1 − u2 · x + c2 ) = 0
((u1 + u2 ) · x − (c1 + c2 )) ((u1 − u2 ) · x − (c1 − c2 )) = 0
Como cuando el producto de dos números es cero alguno de ellos lo es, entonces
nuestro lugar geométrico es la unión de las dos rectas:
β 1 : (u1 + u2 ) · x = (c1 + c2 )
β 2 : (u1 − u2 ) · x = (c1 − c2 )

(1.12)

que son las bisectrices de las lineas `1 y `2 . Observemos que son
ortogonales pues
(u1 + u2 ) · (u1 − u2 ) = |u1 |2 − |u2 |2
= 1−1
= 0

¯2

`1

`2

¯1
u2

u1

0
-u2