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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

y geométricamente, bisectan a los dos sectores o ángulos que forman las rectas; también pasan por el punto de intersección pues sus ecuaciones se obtienen sumando y
restando las ecuaciones originales (el caso en que sean paralelas se deja como ejercicio). En el círculo unitario tambien es claro que la suma y la diferencia de dos
vectores (aunque ya no sean necesariamente unitarios) tienen los ángulos adecuados.
Como corolario, obtenemos otro de los Teoremas clásicos de concurrencia.
Teorema 1.11.4 Las bisectrices (internas) de un triángulo son concurrentes.

u2

Demostración.
Sólo hay que tener cuidado con cuáles ecuaciones unitarias
trabajamos, pues hay dos posibles para cada recta. Si escogemos los vectores unitarios
de las tres rectas, `1 ,`2 y `3 digamos, apuntando hacia adentro del
triángulo, u1 , u2 y u3 respectivamente, entonces es claro que sus
`1
sumas son normales a las bisectrices exteriores. El teorema habla
u1
entonces de las bisectrices que se obtienen como diferencias, que
son, numerándolas por el indice de la recta opuesta:

`2
u3

`3

β 1 : (u2 − u3 ) · x = (c2 − c3 )
β 2 : (u3 − u1 ) · x = (c3 − c1 )
β 3 : (u1 − u2 ) · x = (c1 − c2 )
El negativo de cualquiera de ellas se obtiene sumando a las otras
dos.
¤

EJERCICIO 1.103 Un argumento aparentemente más elemental para el Teorema anterior
es que si un punto está en la intersección de dos bisectrices entonces ya equidista de las
tres rectas y por tanto también está en la bisectriz del vertice restante. ¿Qué implica este
argumento cuando tomamos bisectrices exteriores? ¿Con quién concurren dos bisectrices
exteriores? ¿Una interior y una exterior? Da enunciados y demuestralos con ecuaciones
normales. Completa el dibujo.
EJERCICIO 1.104 Demuestra que el lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos
rectas paralelas es la paralela a ambas que pasa por el punto medio de sus intersecciones
con una recta no paralela a ellas, a partir de las ecuaciones (1.12).
EJERCICIO 1.105 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos planos
en R3 ? Describe una demostración de tu aseveración.

1.12

*Los espacios de rectas en el plano

En esta Sección extra, independiente hasta cierto punto del texto principal ulterior, estudiamos dos ejemplos, que ya tenemos muy a la mano, de cómo la noción