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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

Puesto que esta ecuación unitaria es única
(por la orientación) entonces hay tantas rectas
orientadas como parejas (u, c) ∈ S1 × R ⊂ R2 ×
R = R3 , y este conjunto es claramente un cilindro vértical en R3 . Los haces de lineas orientadas
paralelas corresponden a lineas vérticales en el
cilindro, pues en estos haces el vector normal esta
fijo. Y los haces de lineas (orientadas) concurrentes corresponden a lo que corta un plano por
el origen al cilindro S1 × R, que es una elipse.

1.12.2

0

Rectas no orientadas

Las dos orientaciones de una recta `, tienen ecuaciones unitarias u · x = c y
(−u) · x = −c. Si la recta no pasa por el origen (si 0 ∈
/ ` y por tanto c 6= 0), de estas
dos ecuaciones unitarias podemos tomar la ecuación con constante
estrictamente positiva, u · x = ρ, con ρ > 0, digamos. Así que
las “coordenadas” (u, ρ) corresponden a las coordenadas polares
del punto en la recta ` más cercano al origen; y viceversa, a cada
`
punto x ∈ R2 \ {0} se le asocia la recta que pasa por el punto x y es
½
normal al vector x. O dicho de otra manera, si la recta ` no contiene al origen, podemos esu
coger el semiplano que define
que no contiene a 0. Nos queda una ambigüedad
en el origen: para las rectas por él tenemos dos
vectores unitarios normales que definen la misma
recta. Podemos resumir que las rectas en R2 corresponden a los puntos de un cilindro “semicerrado” S1 × R+ (donde R+ = {ρ ∈ R | ρ ≥ 0})
donde hay que identificar su frontera por antipodas, es decir, en este conjunto (u, 0) y (−u, 0)
aún representan a la misma recta. Si identificamos a (u, 0) con (−u, 0) en el cilindro
S1 × R+ , se obtiene una banda de Moebius abierta. Veámos:
Hay que pensar que el cilindro S1 × R+ está hecho de
un material flexible (pensarlo como “espacio topológico”,
se dice actualmente), y hacer chiquito al factor R+ , para
a
tener un cilindrito con una de sus fronteras inexistente (la
que corresponde al infinito) denotada en las figuras como
a
linea punteada. En la otra frontera (que corresponde al
0) debemos pegar puntos antipodas. Llamémos a al segmento dirigido que es la mitad
de ese círculo y entonces la otra mitad, con la misma orientación del círculo, vuelve
a ser a.