1.12. *LOS ESPACIOS DE RECTAS EN EL PLANO

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c

a

a

2

Si tratamos de pegarlas directamente, la superficie del cilindro nos estorba y no se ve qué
pasa con claridad. Conviene entonces cortar al
c
cilindro por los segmentos verticales, denotab
a
dos b y c en la figura, sobre el principio y fin
de a, para obtener dos cuadraditos (1 y 2). Esa
tos segmentos están dirigidos y debemos recordar que hay que volverlos a pegar en su
c
c b
b
b
c b
momento. Ahora sí,
2
1
a
podemos pegar a los
a
a
segmentos a recora
a
dando su dirección.
En la última figura
c
b
c b
2
1
volteamos al cuadrado
2 de cabeza para loa
a
grarlo. Si alargamos al rectángulo en
su dirección horizontal, obtenemos una banda en la cual
hay que identificar las fronteras verticales hechas con los
c
1
pares de segmentos b y c (la frontera horizontal sigue
b
1
b
a
a
siendo punteada). Y esta identificación, según nuestros
c
segmentos dirigidos, es invirtiendo la orientación, hay que
c
b
dar media vuelta para pegarlos, asi que nos da una banda
de Moebius quitándole su frontera, y ya no queda nada
por identificar. Hemos demostrado que las rectas del
a
plano corresponden biyectivamente a los puntos de una
banda de Moebius abierta. Obsérvese además que las
rectas por el origen (el segmento a con sus extremos identificados) quedan en el “corazón” (el círculo central) de
la banda de Moebius; los haces paralelos corresponden
c
a los intervalos abiertos transversales al corazón que van
b
de la frontera a sí misma (el punto de intersección con el
corazón es su representante en el origen). ¿A qué corresponden los haces concurrentes?

2

2 2

2

2

2

EJERCICIO 1.106 Demuestra que dos haces de rectas, no ambos haces paralelos, tienen
una única recta en comun.

c
b