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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

en la pared es una parábola, y de allí en adelante, al continuar el giro, es una rama
de hipérbola. La hipérbola completa se obtiene al pensar que los rayos del cono son
rectas completas, que se continuan hacia atrás de la lampara, y entonces algunas de
estas rectas (cuyos rayos de luz ya no tocan a la pared por adelante) la intersectan
por atrás en la otra rama de la hipérbola. Si continuamos el giro, pasamos de nuevo
por una parábola y luego por elípses que, viniendo de atrás, se redondean hasta el
círculo con el que empezamos, pero ahora dibujado por el haz de rayos “hacía atrás”
de la lampara que giro 180◦ . La definición clásica de los griegos, que es equivalente, es
fijando al cono y moviendo al plano, y de allí que las hallan llamado secciones cónicas
o simplemente cónicas: la intersección de planos con conos circulares (completos).
La escuela de Alejandría?? estudio con profundidad a estas curvas. Lo hicieron
por amor al arte, al conocimiento, abstracto y puro, por la intuición matemática de
su propia belleza y naturalidad; y dieron a la humanidad una lección fundamental de
la importancia que tiene la ciencia básica. Pues resultó, casí dos mil años despues,
que estas curvas teóricas se expresaban en la naturaleza como las orbitas de los planetas (elípses descritas por Kepler) o en las trayectorias de los proyectiles (parábolas
descritas por Newton y predecesores). Sus propiedades focales, que también descubrieron los griegos, se usan hoy cotidianamente en las antenas parabólicas, en los
telescopios y en el diseño de reflectores o de las lentes de anteojos o cámaras. Su
teoría, que parecía ser un divertimento totalmente abstracto, resultó importantísimo
en la vida diaria y en el entendimiento de la naturaleza.
La escuela de Alejandría??, demostró que a las cónicas también se les puede definir
intrinsecamente como lugares geométricos en el plano, es decir, como subconjuntos
de puntos que cumplen cierta propiedad; a saber, una propiedad que se expresa en
términos de distancias. Esta será la definición formal que usaremos en el libro y en la
última sección de este capítulo veremos que coincide con el de secciones cónicas. En
las primeras secciones veremos que su definición como lugares geométricos expresados
en términos de distancias es equivalente a su descripción como el lugar geométrico
de puntos en R2 cuyas coordenadas satisfacen cierta ecuación. Resulta que estas
ecuaciones son ecuaciones cuadráticas en dos variables, x y y (las coordenadas). Este
hecho, que observó el propio Descartes, fué una gran motivación para el surgimiento
de su Geometría Analítica, pues relacionaba a las clásicas secciones cónicas con los
polinomios de segundo grado, y en general el Algebra, que habían desarrollado los
arabes.

2.1

Círculos

Ya hemos definido y usado extensamente al círculo unitario S1 , definido por la
ecuación
x2 + y 2 = 1.