2.1. CÍRCULOS

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Consideremos ahora a cualquier otro círculo C. Tiene un centro p = (h, k), un radio
r > 0, y es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a p es r. Es decir,
C = {x ∈ R2 | d (x, p) = r}; o bien, C está definido por la ecuación
d (x, p) = r.

(2.1)

Puesto que ambos lados de esta ecuación son positivos, es equivalente
a la igualdad de sus cuadrados que en coordenadas toma la forma
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 .

C

p

(2.2)

De tal manera que todos los círculos de R2 están determinados por una ecuación
cuadrática en las variables x y y. Cuando la ecuación tiene la forma anterior, podemos
“leer” toda la información geométrica (el centro y el radio). Pero en general viene
disfrazada como
¡
¢
x2 + y 2 − 2hx − 2ky = r2 − h2 − k 2
que es, claramente, su expresión desarrollada. Veámos un ejemplo.
Considerémos la ecuación
x2 + y 2 − 6x + 2y = −6.

(2.3)

Para ver si define un círculo, y cuál, hay que tratar de escribirla en la forma (2.2). Para
esto hay que “completar” los cuadrados sumando (en ambos lados) las constantes que
faltan
¢ ¡
¢
¡ 2
x − 6x + 9 + y 2 + 2y + 1 = −6 + 9 + 1
(x − 3)2 + (y + 1)2 = 4.

Es claro que al desarrollar esta ecuación obtenemos a la original, de tal manera que
aquella define al círculo con centro en (3, −1) y radio 2.
También podemos expresar a la ecuación de un círculo de manera vectorial, pues
el círculo C con centro p y radio r está claramente definido por la ecuación
(x − p) · (x − p) = r2 ,

(2.4)

que es el cuadrado de (2.1). Esta ecuación, que llamaremos la ecuación vectorial del
círculo, se puede también reescribir como
x · x − 2p · x + p · p = r2 .
Parece superfluo pero tiene grandes ventajas. Por ejemplo, en algunos de los
ejercicios siguientes puede ayudar, pero además, y mucho más profundo, al no hacer
referencia a las coordenadas tiene sentido en cualquier dimensión. Sirve entonces para

r

x