2.1. CÍRCULOS

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EJERCICIO 2.8 Sean p y q dos puntos distintos en el plano. ¿Para cuáles números reales
c, se tiene que la ecuación
(x − p) · (x − q) = c
define un círculo? En su caso, ¿cuál es el radio y dónde está su centro?

2.1.1

Tangentes y polares

Observemos primero que las líneas tangentes a un círculo son las normales a los
radios (los segmentos del centro a sus puntos). Efectivamente, si a es un punto del
círculo C dado por la ecuación vectorial
(x − p) · (x − p) = r2

(2.4)

entonces su tangente es la recta ` normal a (a − p) y que pasa por
a. Pues a es el punto más cercano a p en esta recta, de tal manera
que para cualquier otro punto x ∈ ` se tiene que d (x, p) > r.
Como el círculo C parte al plano en dos pedazos (el interior donde
d (x, p) < r, y el exterior donde d (x, p) > r ), entonces ` está
contenida en el exterior salvo por el punto a ∈ C; esta será nuestra
definición de tangente.
Claramente, la recta ` está dada por la ecuación

a

p

x
`

x · (a − p) = a · (a − p) ,
que tiene una manera mucho más interesante de escribirse. Restando p · (a − p) a
ambos lados se obtiene
x · (a − p) − p · (a − p) = a · (a − p) − p · (a − p)
(x − p) · (a − p) = (a − p) · (a − p)
(x − p) · (a − p) = r2
pues a ∈ C. La ecuación de la tangente se obtiene entonces sustituyendo al punto en
una de las dos apariciones de la variable x en la ecuación vectorial (2.4).
Para cualquier otro punto en el plano, a digamos, que no sea el centro (a 6= p),
el mismo proceso algebráico —sustituir a en una de las instancias de x en la ecuación
vectorial— nos da la ecuación de una recta, llamada la polar de a respecto al círculo
C, y que denotaremos `a ; es decir,
sea

`a :

(x − p) · (a − p) = r2

(2.5)

Ya hemos visto que cuando a ∈ C, su polar `a es su tangente. Ahora veremos
que si a está en el interior del círculo, entonces `a no lo intersecta (está totalmente
contenida en el exterior), y que si está en el exterior (el punto b en la figura) entonces
lo corta, y además lo corta en los dos puntos de C a los cuales se pueden trazar
tangentes.