88

CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)
Para esto, expresemos la ecuación de `a en su forma
normal; desarrollando (2.5) se obtiene:
x · (a − p) = r2 + p · (a − p) .

p

a

`a

`b

b

Lo cual indica que `a es perpendicular al vector que va
de p a a. Ahora veamos quién es su punto de intersección con la recta que pasa por p y a. Parametrizémos
a esta última recta con p de cero y a de uno (es decir
como p + t (a − p)) y al sustituir en la variable de la
ecuación anterior (o se ve más directo al sustituir en la
(2.5)) podemos despejar t para obtener
t=

r2
r2
=
.
(a − p) · (a − p)
d (p, a)2

Entonces la distancia de p a `a es
r2
d (p, `a ) = t d (p, a) =
=
d (p, a)

µ

r
d (p, a)

¶

r

(2.6)

y tenemos lo primero que queríamos: si d (p, a) < r entonces d (p, `a ) > r; y al reves,
si d (p, a) > r entonces d (p, `a ) < r. Si el punto a está muy cerca de p, su polar
está muy lejos y al reves, sus distancias al centro p se comportan como inversos pero
“alrededor de r” (si r = 1 son precisamente inversos).
Supongamos ahora que d (p, a) > r, y sea c un punto en `a ∩ C (que sabemos que
existe pues `a pasa por el interior de C). Puesto que c ∈ `a ,
`a
se cumple la ecuación

p

c

(c − p) · (a − p) = r2 .

a

Pero entonces a cumple la ecuación de `c que es la tangente a
C en c; es decir, la linea de a a c es tangente al círculo.
Nótese que el argumento anterior es mucho más general:
demuestra que para cualesquiera dos puntos a y b (distintos
de p) se tiene que
a ∈ `b ⇔ b ∈ `a

(2.7)

Y los puntos del círculo son los únicos para los cuales se cumple a ∈ `a .
En particular, hemos aprendido a calcular los puntos de tangencia a un círculo
desde un punto exterior a. A saber, de la ecuación lineal de su polar, `a , se despeja
alguna de las dos variables y se sustituye en la ecuación del círculo. Esto nos da una
ecuación de segundo grado en la otra variable que se puede resolver dándonos dos
raices. Sustituyéndolas de nuevo en la ecuación de la polar se obtienen el otro par de
coordenadas.