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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

y exteriores) y que es una biyección entre lineas y puntos que cambia concurrencia por
colinearidad. Observa además que los nuevos puntos (polares de los diametros) tienen una
dirección (no orientada) bien definida, aquella en la que se alejan los puntos polares de una
secante que se acerca al diametro correspondiente).
EJERCICIO 2.12 Demuestra que si c es un punto exterior (al círculo C con centro p)
entonces su recta a p bisecta a sus dos tangentes a C. Y además que las distancias a sus
pies en C (es decir, a los puntos de tangencia) son iguales.
EJERCICIO 2.13 Observa que toda nuestra discusión sobre lineas polares se basó en la
ecuación vectorial (2.4) que tiene sentido en R3 donde define a esferas. Define la noción
de plano polar a un punto respecto a una esfera en R3 . Demuestra que un punto c en el
exterior tiene como plano polar a uno que intersecta a la esfera en un círculo formado por
los puntos de la esfera cuyas lineas a c son tangentes (a la unión de estas lineas se le llama
el cono de la esfera con ápice c).

2.2

Elípses

Si amarramos a un burro hambriento a una estaca en un prado, se irá comiendo el
pasto deambulando al azar, pero terminará por dejar pelón al interior de un círculo
(con centro la estaca y radio la longitud del mecate). Si amarramos los extremos
de un mecate a dos estacas y engarzamos al burro a este mecate lo que dibujará
es una elípse; por eso, a fijar dos tachuelas en un papel, amarrar holgadamente un
hilo entre ellas y luego tenzar con un lápiz y girarlo se le conoce como “el método
del jardinero” para trazar elípses. Formalmente, las elípses son
x
el lugar geométrico de los puntos (posiciones de la boca del burro
cuando tenza el mecate) cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos (las estacas) es constante (la longitud del mecate).
q
De tal manera que una elípse E queda determinada por la ecuación

p

d (x, p) + d (x, q) = 2a

(2.8)

donde p y q son los focos y a es una constante positiva, llamada
semieje mayor, tal que 2a > d (p, q). Incluimos el coeficiente 2 en la constante para
que quede claro que si los focos coinciden, p = q, entonces se obtiene un círculo
de radio a y centro en el foco; así que los círculos son elípses muy especiales. Esta
ecuación, poniéndole coordenadas a los focos, incluye raizes cuadradas por las distancias, es aún muy “fea”. Veremos ahora que en un caso especial es equivalente a una
ecuación cuadrática “bonita”.
Supongamos que el centro de la elípse E, i.e., el punto medio entre los focos, está
en el origen y que además los focos están en el eje x. Entonces tenemos que p = (c, 0)
y q = (−c, 0) para alguna c tal que 0 < c < a (donde ya suponemos que la elípse