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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

que, dividiendo entre a2 b2 , se escribe finalmente como
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b

(2.12)

llamada la ecuación canónica de la elípse.
Hemos demostrado que si x = (x, y) satisface (2.8), entonces satisface (2.12). Lo
inverso, aunque también es cierto, no es tan automático, requiere más argumentación
pues en dos ocaciones (al pasar a las ecuaciones (2.10) y (2.11)) elevamos al cuadrado.
Es cierto que si dos números son iguales entonces también sus cuadrados lo son (que
fué lo que usamos); pero si r2 = t2 no necesariamente se tiene que r = t, pues podría
ser que r = −t. Este es el problema conceptual conocido como “la raiz cuadrada
tiene dos ramas”, entonces los pasos de las ecuaciones (2.10) y (2.11) hacia arriba
requieren argumentación sobre los signos (todos los demás pasos hacia arriba sí son
automáticos). A manera de verificación, demostremos el inverso directamente.
Supongamos que x = (x, y) satisface la ecuación canónica de la elípse (2.12);
veremos que entonces satisface la ecuación (2.9). Como en (2.12) se tiene una suma
de números positivos que dan 1, entonces ambos sumandos están entre 0 y 1. Por lo
tanto |x| ≤ |a| = a, y esto habrá que usarse al sacar una raiz. De la ecuación (2.12)
se puede despejar y 2 y sustituirla en las expresiones dentro de las raices de (2.9), para
obtener, en la primera,
b2
(x − c)2 + y 2 = (x − c)2 + b2 − 2 x2
a
µ
¶
b2
=
1 − 2 x2 − 2cx + c2 + b2
a
µ 2
¶
¡ 2
¢
a − b2
2
2
=
−
2cx
+
c
+
b
x
a2
³c
´2
c2
= 2 x2 − 2cx + a2 =
x−a .
a
a
Ahora bien, como |x| ≤ |a| = a implica que x ≤ a, y además 0 < c < a, entonces
cx < a2 y por tanto ac x < a. Así que la expresión que pusimos arriba es negativa y
entonces la raiz es la otra posible rama; es decir, hemos demostrado que
q
c
(x − c)2 + y 2 = a − x .
a
De manera análoga, pero usando ahora que −x ≤ a, se demuestra que
q
c
(x + c)2 + y 2 = a + x ,
a
de donde se sigue la ecuación de las distancias (2.9).