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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

la primera corresponde a la rama donde x < 0 y la segunda a x > 0. Como se hizo en
el caso de la elipse (elevando al cuadrado, simplificando para aislar la raiz que queda
y luego volviendo a elevar al cuadrado y simplificando, ver Ejercicio 2.3) se obtiene,
de cualquiera de las dos ecuaciones anteriores, la ecuación
¡ 2
¢
¡
¢
a − c2 x2 + a2 y 2 = a2 a2 − c2 .
(2.17)
Y de aquí, sustituyendo −b2 = a2 −c2 , y dividiendo entre −a2 b2 se obtiene la ecuación
canónica.

EJERCICIO 2.17 Demuestra que la ecuación (2.13) define a la mediatriz de p y q para
a = 0; a los rayos complementarios del segmento pq para a = c, y al conjunto vacio para
a > c.
EJERCICIO 2.18 Demuestra que la ecuación (2.17) se sigue de cualquiera de las dos
anteriores (2.16).
EJERCICIO 2.19 Demuestra que si (x, y) satisface la ecuación (2.15) entonces |x| ≥ a.
Concluye (sustituyendo en las raices, como en el caso de la elípse) que entonces, alguna de
las dos ecuaciones (2.16) se satisfacen.
EJERCICIO 2.20
Sean C1 y C2 dos círculos con centros a y b
respectivamente, y sea X el conjunto de los puntos que son centro de
un círculo C3 tangente tanto a C1 como a C2 .
b
a) Demuestra que si C1 y C2 estan fuera uno del otro y sus radios
son distintos entonces X consta de un par de hipérbolas con focos a
a
y b.
b) Demuestra que si C1 y C2 se intersectan pero no son tangentes
y sus radios son distintos entonces X consta de un hipérbola y una
elipse con focos a y b.
c) Discute los casos limite entre los casos anteriores y el del Ejercicio 2.2 y el de radios iguales.

2.4

Parábolas

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto p
(llamado su foco) y una recta `, llamada su directriz, donde p ∈
/ `. Es decir, está
definida por la ecuación
d (x, p) = d (x, `) .
Tomemos un ejemplo sencillo con el foco en el eje y, la directriz paralela al eje x, y
que además pase por el origen. Tenemos entonces p = (0, c), donde c > 0 digamos, y
` : y = −c; de tal manera que la parábola queda determinada por la ecuación
p
x2 + (y − c)2 = |y + c| .