2.5. PROPIEDADES FOCALES

95

Como ambos lados de la ecuación son positivos, esta es equivalente a la igualdad de
sus cuadrados que da
x2 + y 2 − 2cy + c2 = y 2 + 2cy + c2
x2 = 4cy.
De tal manera que la gráfica de la función x2 (y = x2 ) es una parábola con foco
(0, 1/4) y directriz y = −1/4. Veremos ahora que cualquier parábola cumple “la
propiedad de ser gráfica de una función” respecto a su directriz.
Sea P la parábola con foco p y directriz ` (donde p ∈
/ `). Dado un punto y0 ∈ `,
es claro que los puntos del plano cuya distancia a ` coincide con (o se mide por) su
distancia a y0 son precisamente los de la normal a ` que pasa por y0 , llamémosla ν 0 .
Por otro lado, la mediatriz entre y0 y p, llamémosla η 0 , consta de los puntos cuyas
distancias a p y a y0 coinciden. Por lo tanto la intersección de
η 0 y ν 0 está en la parábola P , es decir, x0 = ν 0 ∩η 0 ∈ P, pues
x
d (x0 , `) = d (x0 , y0 ) = d (x0 , p). Pero además x0 es el único
punto en la normal ν 0 que está en P. Está es “la propiedad
x0
de la gráfica” a la que nos referiamos.
Podemos concluir aún más: que la mediatriz η 0 es la tanp
gente a P en x0 . Pues para cualquier otro punto x ∈ η0 se
P
tiene que su distancia a ` es menor que su distancia a y0 que es
su distancia a p (d (x, `) < d (x, y0 ) = d (x, p)), entonces x ∈
/
`
y0
P. De hecho, la parábola P parte al plano en dos pedazos,
´0
los puntos más cerca de p que de ` (lo de adentro, digamos,
º0
definido por la desigualdad d (x, p) ≤ d (x, `)) y los que estan
más cerca de ` que de p (lo de afuera, dado por d (x, `) ≤ d (x, p) en donde está η 0 ),
que comparten la frontera donde estas distancias coinciden (la parábola P). Así que
η 0 pasa tangente a P en x0 , pues x0 ∈ η0 ∩ P y además η0 se queda de un lado de P.

2.5
2.5.1

Propiedades focales
De la parábola

Del análisis geométrico anterior es fácil deducir la propiedad
focal de la parábola que la ha hecho tan importante en la tecnología de los siglos recientes.
Como la mediatriz η 0 es bisectriz del ángulo px0 y0 , que llamaremos 2α, entonces un fotón (particula de luz) que viaja por
ν 0 (la normal a `) hacia ` y “dentro” de la parábola, incide en
ella con ángulo α (este ángulo se mide infinitesimalmente, es
decir, con la tangente η 0 ); como el ángulo de incidencia es igual
al de reflexión entonces sale por el rayo que va directo al foco p.

®

x0
®

p

´0

®

y0