2.5. PROPIEDADES FOCALES

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Pero antes de seguir adelante, consideremos el otro caso, es
decir, cuando el punto de intersección x de las rectas ηy (por
º
y
p y y ∈ C) y ν y , la mediatriz de y y q, está del otro lado de y
(es decir, cuando p está en el segmento xy). Se tiene entonces
p
que d (x, q) = d (x, y) = d (x, p) + d (p, y) = d (x, p) + 2a, de
q
tal manera que x está en la otra rama de la hipérbola.
Hemos demostrado que si y ∈ C es tal que su recta por él y
p, η y , y su mediatriz con q, ν y , se intersectan en un punto x,
entonces x ∈ H. Como en el caso de la parábola, la mediatriz
x
ν y es ahora el candidato a ser ¯la ¡tangente
a
H
en
el
punto
x.
¢
¡ 0 ¢¯
´
0
Esto se demuestra viendo que ¯d x , p − d x , q ¯ < 2a para
0
cualquier otro punto x ∈ ν y y se deja como ejercicio (hay que
usar dos veces la desigualdad del triángulo). De aquí también se sigue la propiedad
focal de la hipérbola.
Pero además, se sigue otro punto clave. La existenº0
cia
de las asintotas. Hay un par de puntos en el círculo
y0
C, para los cuales la mediatrz con q, es paralela a su
recta por p. Para que esto suceda para un punto y ∈ C,
q
p
como la mediatriz con q, ν y , es ortogonal a la recta qy,
y
entonces es necesario (y suficiente) que el radio py sea
también ortogonal a qy; es decir, que qy sea la tangente
al círculo C en el punto y. Entonces las dos tangentes
y1
al círculo C que se pueden trazar desde q, nos definen
º1
dos puntos, y0 y y1 digamos, cuyas mediatrices con q,
ν 0 y ν 1 , son las asintotas de H.
º0
Para fijar ideas tomemos a los focos p y q en una linea
y0
horizontal y con p a la izquierda, como en las figuras. Si
movemos al punto y en el círculo C, empezando con el más
a
b q
cercano a q, hacia arriba; el correspondiente punto x ∈ H
p
c
viaja por la rama de q alejándose (arriba a la derecha), pero
su tangente (que empieza vertical) la vemos como mediatriz de
un segmentito que gira en q hacia arriba y se alarga un poco
(siguiendo a su otro extremo y); nótese que la tangente gira
entonces hacia la derecha.
Cuando y llega a y0 , el punto x (que viaja en H) se ha “ido al infinito” pero su
tangente llega placidamente a ν 0 , la asintota correspondiente. Al mover otro poquito
a y, la tangente ν y empieza a girar hacia la izquierda (pues el segmento qy empieza
a bajar) y el correspondiente punto x ∈ H reaparece pero en la otra rama y justo por
el lado opuesto. Podemos seguir girando a y sin problemas, mientras x recorre toda
la rama de p, hasta llegar al otro punto de tangencia y1 (ahora abajo) tenemos a x
desaparecido (en el infinito) pero la tangente está en la otra asintota. Si seguimos
girando, x vuelve a cambiar de rama y regresa, junto con y, a su lugar de origen.