2.6. *ARMONÍA Y EXCENTRICIDAD
Pensemos ahora que p y q son los focos de una elípse y x0
un punto en ella. Sea ` la recta que pasa por x0 y bisecta (por
fuera) a los segmentos de p y q a x0 . Por construcción y la
solución al problema del bombero, cualquier otro punto x ∈ `
tiene mayor suma de distancias a los focos y por tanto está fuera
de la elipse. Esto demuestra que ` es la tangente a la elípse en el
punto x0 y por tanto, su propiedad focal con la que empezamos
este parrafo.

2.5.4

99

® x0
®

q

`

p

Telescopios

Por último, veamos brevemente cómo funciona un telescopio moderno. El haz de
fotones que viene de una galaxia, digamos, es “paralelo” pues está tan lejos que
desde la Tierra es imposible medir variación de ángulos (mucho más que los satelites
respecto a la superficie de las antenitas parbólicas). Un gran espejo parabólico hace
confluir este haz en su foco p. Pero p está del otro lado del espejo. Esto se resuelve
poniendo un pequeño espejo secundario elíptico y con el mismo foco p, que vuelve a
reflejar el haz. Este pasa por un pequeño agujero en el centro del primario y vuelve
a confluir en su otro foco q, que ahora sí está detras del gran espejo primario, y ahí
se captura en el detector. El hoyito que se hace al primario, así como lo que tapa
el secundario o la estructura, cuenta poco pues la superficie crece como el radio al
cuadrado.
Otra manera de resolver el problema de “regresar el haz” hacia atras
del espejo primario, que es la más usada, es poniendo un secundario
p
hiperbólico en vez de elíptico, con la superficie reflejante por fuera y
otra vez con el mismo foco p. De nuevo hace reflejar el haz en uno que
confluye en su otro foco q, comodamente situado detras del hoyito del
primario.
Lo que cuenta es qué tantos fotones podemos capturar en el sisq
tema óptico; a simple vista es la superficie de la pupila, los telescopios
modernos recolectan los fotones que chocarían en decenas de metros cuadrados en
una dirección dada y los hacen pasar, despues de dos reflexiones adecuadas, por la
pupila de algún instrumento detector.

2.6

x

*Armonía y excentricidad

Hemos definido elípses e hipérbolas como lugares geométricos en base a propiedades
aditivas de distancias. Ahora estudiaremos a las cónicas respecto a propiedades multiplicativas. Pues resulta que las tres cónicas (elipses, parábolas e hipérbolas) se
definen también como el lugar geométrico de los puntos x cuya razón de sus distancias a un foco p y a una recta ` llamada diréctriz es una constante fija e, llamada su