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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

Además, obtenemos la interpretación geométrica de los tres parametros a, b, c en
el triángulo rectángulo que se forma con el centro, el eje que une a los dos focos y
una de las asintotas.

2.5.3

De la elipse

La propiedad focal de la elipse es que cualquier fotón que emana de un foco se refleja en
la elipse para llegar al otro foco. De tal manera que si susurramos en uno de los focos
de un cuarto elíptico, el sonido rebota en la pared y confluye estruendosamente en el
otro foco (pues además, cada onda sonora que emana de un foco llega simultanea al
otro foco, sin distorsión o “delay” pues en todas sus trayectorias ha recorrido la misma
distancia). Una manera de ver esto es análoga a la que usamos para la hipérbola:
tomar el círculo de radio 2a centrado en el foco p —este círculo contiene al otro foco
q, puesto que ahora 2a > d (p, q)—, y luego ver que para los puntos de este círculo,
su mediatriz con q es tangente a la elipse E. Pero para variarle, se la dejamos al
estudiante y usamos otro método basado en el clásico “problema del bombero”.

q

x
`

p

Supongamos que un bombero está parado en el punto p y hay un
fuego —que tiene que apagar— en el punto q. Pero tiene su cubeta
vacia, entonces tiene que pasar primero a llenarla a un rio cuyo borde
es la recta `. El problema es ¿cuál es la trayectoria óptima que debe
seguir el bombero? Es decir, para cuál punto x ∈ ` se tiene que
d (p, x) + d (x, q) es mínima. En la vida real, y con muchos bomberos
en fila, se aproximarían a la solución poco a poco. Pero desde nuestra
comoda banca de la abstracción, hay una solución muy elegante.

No hemos especificado de que lado del rio está el fuego. Si
q0
estuviera del otro lado que el bombero, cualquier trayectoria al
fuego tiene que pasar por ` y entonces debe irse por la línea
recta de p a q y tomar agua en x0 = ` ∩ pq. Entonces, si fuego
®
® x
y bombero están del mismo lado del rio `, podemos pensar en
0
q
®
un “fuego virtual”, que es el reflejado de q en `, llamémosle q0 ,
que cumple que d (x, q) = d (x, q0 ) para todo x ∈ `, (para q
`
y q0 , ` es su mediatriz). La solución es, por el caso anterior,
x0 = ` ∩ pq0 . Pero obsérvese además que el ángulo α con el que
llega el bombero a ` es igual al ángulo “de reflexión” con el que
p
sale corriendo al fuego (ya con la cubeta llena), e igual al ángulo
con el que seguiría su trayecto al fuego virtual, y que está propiedad determina al
punto de mínimo recorrido x0 ; es fácil convencerse de que para cualquier otro punto
de ` los ángulos de llegada y de salida son distintos. Si los bomberos fueran fotones
emanando de p y ` un espejo, el único que llega a q es el foton que toma el recorrido
mínimo.