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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

Llamemos eje de la parábola a la perpendicular a la directriz que pasa por el
foco. Se tiene entonces que un haz de fotones viajando en rayos paralelos al eje se va
reflejando en la parábola para convertirse en un haz que converge en el foco p.
Una antena parabólica casera (que se obtiene girando en su eje a una parábola)
apuntada a un satelite, refleja entonces la onda de radio que viene de este (el satelite
está tan lejos que esta onda ya “es” paralela) y la hace converger en el receptor
(puesto en el foco): “medio metro” cuadrado de la onda se concentra simultáneo en
el receptor puntual; tal amplificación hace fácil captarla. El proceso inverso se usa
en lamparas o en antenas transmisoras, reflejan un haz que emana del foco en un haz
paralelo al eje.

2.5.2

De la hipérbola

¿Qué pasa si plateamos (hacemos espejo) el otro lado de la parábola? Es fácil ver
que entonces el haz paralelo al eje que incide en ella (por fuera) se refleja en un haz
que emana (o simula emanar) del foco. Si pensamos que un haz paralelo viene de
un punto al infinito y queremos reproducir este fenómeno para un haz puntual (que
emana de un punto) hay que usar a la hipérbola.
Sea H una hipérbola con focos p y q; el haz que emana del foco p, se refleja en la
rama de H cercana a q, en un haz que emana de q. Entonces el uso tecnológico de
la hipérbola es con refracción, si el fotón cruza la hipérbola con ángulo de incidencia
igual al de refracción entonces el haz que emana de p se refracta en uno confluyente
en q (algo así se usa en el diseño de las lentes). Demostrar esto equivale a demostrar
que la tangente a la hipérbola H en un punto x es bisectriz de sus lineas a los focos
p y q. Para demostrarlo usaremos una construcción análoga a la de la parábola pero
cambiando el uso de las normales a la directriz (que “vienen” del infinito) por el haz
de rayos que sale de p.
Supongamos que H está acabada de determinar por la constante 2a, es decir, que

´

x

H:

|d (x, p) − d (x, q)| = 2a

donde 0 < 2a < d (q, p). Sea C el círculo con centro en p
y radio 2a, de tal manera que para cada y ∈ C tenemos un
rayo que sale de p. Para fijar ideas, tomemos una y ∈ C
p
2a
q
que apunta cerca de q (pero no justo a q). Los puntos en el
rayo ~η y que sale de p hacia y usan a este rayo para medir
su distancia a p. Si tomamos a ν y como la mediatriz de y
º
y el otro foco q entonces (como en la parábola) se tiene que
H
x := ~ηy ∩ ν y ∈ H pues d (x, q) = d (x, y) (porque x ∈ ν y ) y
d (x, p) = d (x, y) + d (y, p) = d (x, y) + 2a (donde estamos
suponiendo que x está en el rayo que sale de p y pasa por y como en la figura), de
tal manera que de las dos condiciones obtenemos que d (x, p) − d (x, q) = 2a.

C

y