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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

excentricidad. Es decir, estan dadas por la ecuación
d (x, p) = e d (x, `) .
Para e = 1, esta es la ecuación de la parábola que ya estudiamos. Veremos que
para e < 1 define una elipse y para e > 1 una hipérbola, de tal manera que las tres
cónicas quedan en una sola familia. Pero notemos que no apareció el círculo. Este
tiene excentricidad 0 que no cabe en la definición anterior (más que como limite). Sin
embargo, aparece en una instancia (en apariencia) más simple de esta ecuación que es
tomando otro punto en vez de la línea y veremos que ligado a esto surge naturalmente
el concepto clásico de puntos armónicos.

2.6.1

Puntos armónicos y círculos de Apolonio

Sean p y q dos puntos distintos en el plano. Consideremos la ecuación
(2.18)

d (x, p) = h d (x, q) ,

p

donde h > 0. Para h = 1 esta es la ecuación de la mediatriz que estudiamos en el
capítulo anterior, pero a excepción de h = 1 donde da una recta, veremos que está
ecuación define círculos; los llamados “círculos de Apolonio”.
Notemos primero que el lugar geométrico C definido
por (2.18) es simétrico respecto a la línea ` que pasa por
x0
p y q, pues si un punto x satisface la ecuación tambien
lo hace su reflejado x0 respecto a la recta `. De tal manera que la recta ` debe ser un diametro y el círculo debe
q
estar determinado por los puntos de intersección ` ∩ C.
Encontrémoslos.
x
Sabemos que los puntos de ` se expresan en coordenadas baricéntricas como x = αp + βq con α + β = 1,
dónde, si damos una dirección a `, de p hacia q digamos, y denotamos a las distancias
dirigidas con d~ se tiene que
d~ (x, p)
d~ (p, x)
d~ (x, q)
y β=
=
.
α=
d~ (p, q)
d~ (q, p)
d~ (p, q)
x
q
De tal manera que si x = αp + βq ∈ `, entonces

p

β
d~ (p, x)
=
.
α
d~ (x, q)

Por tanto, para encontrar las soluciones de (2.18) en ` basta encontrar a las soluciones de |β/α| = h con α + β = 1: sustituyendo β = hα en esta última ecuación,
encontramos una solución dentro del segmento pq (con α y β positivas) dada por
αh :=

1
h+1

y β h :=

h
.
h+1