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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

Teorema 2.6.1 Sean p, q, a, b cuatro puntos colineales, y sean C1 y C2 los círculos
con diametro pq y ab respectivamente. Entonces son equivalentes:
i) Las parejas p, q y a, b son armónicas.
ii) Se cumple que (a − p) · (b − q) = − (a − q) · (b − p)
iii) El punto b está en la línea polar de a respecto a C1 .
iv) Los círculos C1 y C2 se intersectan ortogonalmente.
Demostración.
(i)⇔(ii). La condición de armonía (2.19) claramente se puede
reescribir, usando normas para expresar distancias, como
|a − p| |b − q| = |a − q| |b − p|

p

C1

p

((i))

La equivalencia de (i) y (ii) se sigue del hecho de que si dos vectores u y v son paralelos
entonces |u| |v| = ± (u · v) dependiendo de si apuntan en la misma dirección (+) o
en direcciones opuestas (−). Esto da inmediatamente la implicación (ii)⇒(i) pues
por la hipótesis general del Teorema los cuatro puntos estan alineados y entonces sus
diferencias son paralelas. Para el regreso sólo hay que tener cuidado con los signos. Si
se cumple (i) es fácil ver que el orden lineal en que aparecen los puntos en la línea es
alternado (entre las parejas), pues si, por ejemplo, p y q
q
b
fueran los extremos, un lado de (i) es estrictamente menor
a
que el otro. Entonces —renombrándo entre las parejas si
es necesario— podemos suponer que aparecen en el orden
p, a, q, b. En este caso (i) toma la expresión (ii).
(i)⇒(iii) Supongamos que p, q y a, b son los de los parrafos anteriores con razón
de armonía h 6= 1. Sean o (ojo, no necesariamente es el orígen 0) el centro y r1 el
radio del círculo C1 , es decir, o = (1/2)(p + q) y r1 = |p − q| /2. De tal manera que
C1 : (x − o) · (x − o) = r12 .
Por la Sección 1.1, ver que b está en la linea polar de a respecto a C1 equivale a
demostrar que (a − o) · (b − o) = r12 . Pero ya evaluamos (x − a) · (x − b) = (a − x) ·
(b − x) para cualquier x; entonces hay que sustituir o en
(2.20), para obtener
µ
¶
1
(a − o) · (b − o) =
((o − p) · (o − p)
1 − h2
b
o a q
−h2 (o − q) · (o − q))
¶
µ
`a
¡ 2
¢
1
r1
r1 − h2 r12 = r12 .
=
2
1−h
Por el papel que jugó (y jugará) el punto o, conviene pensar que sí es el orígen. Si
no lo fuera, lo trasladamos al origen junto con el resto de los puntos y las propiedades
que nos interesan se preservan. Puede pensarse también que en lo que sigue cada letra
(b digamos) representa al punto original menos o (a b − o en el ejemplo). Tenemos