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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

EJERCICIO 2.21 Demuestra que αh β 0h = −β h α0h (usando la definición de los correspondientes primados sin referencia a h); y, usando las definiciones en base a h, demuestra
que
αh α0h =

1
1 − h2

y β h β 0h =

h2
h2 − 1

son las coordenadas baricéntricas del centro del círculo (2.18) respecto a p y q.
EJERCICIO 2.22 Sean p y q dos puntos en un círculo C con centro
o; y sea a un punto en el segmento pq distinto del punto medio, es
b
o
decir, a = αp + βq con α + β = 1, 0 < α < 1 y α 6= β. Demuestra
a
que el punto armónico de a respecto a p y q (llamémoslo b) está en
p
la línea polar de a respecto al círculo C. (Expresa b en coordenadas
baricéntricas respecto a p y q, y sustituye en la ecuación de la polar
de a). Concluye que la linea polar de un punto a en el interior de un círculo consiste de
todos sus armónicos respecto a la intersección con el círculo de las líneas que pasan por el.
C

q

2.6.2

Excentricidad

Demostraremos ahora que elipses e hipérbolas se definen por la ecuación
(2.21)

d (x, p) = e d (x,`) ,

con e < 1 y e > 1 respectivamente, donde p es uno de sus focos, y a ` la llamaremos
su directriz correspondiente. La constante e es llamada la excentricidad de la cónica,
y ya sabemos que las de excentricidad 1 son las parábolas.
Consideremos la elipse canónica E con centro en el origen y semiejes a > b en los
ejes coordenados. Sabemos que sus focos están en p = (c, 0) y q = (−c, 0), donde
c > 0 es tal que b2 + c2 = a2 . Sabemos además que E intersecta al eje-x, que es su
eje focal, en los puntos (a, 0) y (−a, 0).
Resulta que la directriz de E correspodiente al foco
p es ortogonal al eje-x y lo intersecta en el conjugado
b
armónico de p respecto a los puntos de intersección; es
2
decir, es la línea polar a p respecto al círculo x · x =
a/c
c
a2 (que, notemos, es doblemente tangente a E). Sea
a
entonces ` definida por la ecuación

`

x=

a2
.
c

De los datos que tenemos podemos deducir su excentricidad (pues del punto (a, 0) ∈ E
conocemos sus distancias a p y `), que resulta e = c/a < 1. Desarrollemos entonces
a la ecuación (2.21) en coordenadas para ver si son ciertas las afirmaciones que nos
hemos sacado de la manga de la historia.