2.6. *ARMONÍA Y EXCENTRICIDAD

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entonces que p = −q (pues el origen es ahora su punto medio) y que r12 = p · p.
Ahora la condición (iii) equivale a
a · b = r12

(iii’)

y podemos demostrar la equivalencia de (ii) y (iii) de un solo golpe (aunque un lado
ya esté demostrado).
(ii)⇔(iii’) Usando que q = −p, claramente se tiene
(a − p) · (b − q) + (a − q) · (b − p) = 2 (a · b − p · p)
que concluye la demostración ((ii) es que el lado izquierdo sea cero y (iii) que el lado
derecho lo es).
(iii)⇔(iv) Sean c = (1/2) (a + b) el centro de C2 , y r2 = |b − a| /2 su radio. Que
C1 y C2 sean ortogonales quiere decir que sus tangentes en el punto de intersección lo
son; y esto equivale a que sus radios al punto de intersección son ortogonales (pues las tangentes son ortogonales
C2
a los radios). Por el Teorema de Pitágoras esto equivale
a que
r2
r1
c
a
r12 + r22 = |c|2
(iv’)
0
(pues C1 está centrado en el origen asi que |c| es la distancia entre los centros), que es lo que tomamos en adelante
como (iv). Sabemos, por hipótesis, que a y b son paralelos y hay que observar que
ambas condiciones (a · b = r12 > 0 y r12 + r22 = |c|2 ) implican que estan del mismo lado
del origen. Podemos suponer entonces que a es “más chico” que b, y entonces
|c|2 =
=
=
=

(|a| + r2 )2
|a| (|a| + 2r2 ) + r22
|a| |b| + r22
a · b + r22

Lo cual demuestra la equivalencia (iii’)⇔(iv’) y concluye el Teorema.

¤

En resumén, los círculos de Apolonio de un par de puntos p y q, son los ortogonales
al círculo que los tiene como diametro y cuyo centro está en esa línea, y además la
cortan en sus conjugados armónicos; teniendo como límites a los “círculos de radio
cero” en p y en q y a su línea mediatriz.

b