2.6. *ARMONÍA Y EXCENTRICIDAD

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Puesto que ambos lados de (2.21) son positivos, esta ecuación es equivalente a su
cuadrado que en coordenadas (y nuestra definición de p, ` y e) toma la forma
¶2
³ c ´2 µ
a2
2
2
(x − c) + y =
x−
a
c
¶
µ 2¶µ
a4
c
a2
2
2
2
2
x −2 x+ 2
x − 2cx + c + y =
a2
c
c
µ 2
¶
2
a −c
x2 + y 2 = a2 − c2
a2

De aquí, dividiendo entre b2 = a2 − c2 se obtiene la ecuación canónica de la elípse E
y quedan demostradas todas nuestras aseveraciones.
Para una hipérbola H, de nuevo la directriz correspondiente a
un foco es perpendicular al eje focal y lo intersecta en su conjugado armónico respecto a los puntos de intersección con H. De tal
manera que podemos tomar exactamente los mismos datos del caso
anterior (p = (c, 0), ` : cx = a2 y e = c/a), y la ecuación (2.21) se
desarrolla igualito. Pero ahora tenemos que c > a (la excentricidad
c
a
es mayor que 1, e = c/a > 1) y entonces definimos b > 0 tal que
a2 + b2 = c2 ; de tal manera que en el último paso hay que dividir
por −b2 para obtener
2
x2 y 2
a/c
x
=
−
=
1
.
a2
b2
La excentricidad de una cónica es un invariante de semejanza, es decir, si magnificamos (hacemos zoom) o disminuimos una cónica, su excentricidad se mantiene.
Pues esta magnificación (o contracción) se logra alejando (o acercando) al foco p y a
la directriz `. Pero si fijamos a estos últimos y variamos la excentricidad e, se cubre
por cónicas todo el plano (exceptuando a p y ` que aparecen como los limites e → 0
y e → ∞ respectivamente) pues cualquier punto da una razón específica entre las
distancias y por tanto una excentricidad que lo incluye.
Recreémos la construcción de la parábola en base
0
e1
a mediatrices, pero ahora con círculos de Apolonio. Si
1
P es la cónica con foco p, directriz ` y excentricidad e
(puede ser elipse, parábola o hipérbola), y para cada
punto y en ` tomamos el círculo de Apolonio Cy entre
y
ºy
p y y con razón de armonía e, entonces es claro que
Cy ∩ ν y ⊂ P (donde ν y es la normal a ` en y). Pues
la distancia de un punto en ν y a ` corresponde a su
p
Cy
distancia a y; y si está en Cy la razón de las distancias
a p y y es la adecuada. Pero ahora Cy ∩ ν y no es
`
necesariamente un punto pues, salvo el caso e = 1
donde Cy es la mediatriz, un círculo intersecta a una recta en 2, 1 o 0 puntos.