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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

Para el caso e < 1, los círculos de Apolonio Cy contienen a p en su interior; crecen
conforme y se aleja en `, pero llega un momento (que corresponde al semieje menor
de la elipse) en el que ν y ya no los corta. Por el contrario, para e > 1 los círculos de
Apolonio contienen a y, y entonces ν y siempre los corta en dos puntos que dibujan
las dos ramas de la hipérbola.
En ambos casos, si Cy corta a ν y en x, digamos, entonces por un argumento
análogo al de la parábola se puede ver que está fuera de P , es decir, que Cy es
tangente a P en x, pero en este caso, y salvo por el último toque a una elipse en
el semieje menor, también es tangente a P en otro punto. Para la hipérbola es fácil
verlos, simplemente dejar caer un círculo hacía el centro y si es más grande que la
cinturita: ahí donde se detiene es un Cy , donde y corresponde a la altura de los dos
puntos en P donde se atoró.

2.7

*Esferas de Dandelin

Hemos desarrollado todo este capítulo en base a las definiciones planas de las cónicas
por propiedades de distancias. Sin embargo, en su introducción empezamos como
los griegos: definiéndolas en el espacio como intersección de un cono con planos.
Veremos brevemente que tal definición corresponde a la que usamos, basándonos en
una demostración que data de cerca del 1800 debida a un tal Dandelin.
Para definir un cono C en R3 , consideremos una linea ζ por
z
el orígen en el plano yz con un ángulo α respecto al eje y: y
hagámosla girar alrededor del eje z. De tal manera que la intersección de C con un plano horizontal (z = c, digamos) es un cír³
culo centrado en “el origen” ((0, 0, c), y de radio c cos α/ sin α).
Por la definición, es claro que para cualquier punto x ∈ C, su
®
recta por el origen, que denotaremos ζ x , está contenida en el
y
cono, y la llamaremos la recta del cono por x. Queremos hacer
ver que cualquier plano Π que no contenga al origen intersecta
x
al cono C en una cónica (definida por distancias).
³x
z
Las esferas tangentes al cono, son esferas
³
con centro en el eje z y que tocan al cono
pero que no lo cortan, es decir, que tienen a todas las lineas del
cono como lineas tangentes. Si dejamos caer una esfera dentro del
cono se asienta en una esfera tangente. Es claro que las esferas
tangentes se obtienen de hacer girar en el eje z un círculo centrado
y
en él y tangente a la línea generadora ζ; que para cada radio hay
exactamente dos esferas tangentes (una arriba y una abajo), y que
para cada punto del eje-z hay una única esfera tangente centrada
en él. Además, cada esfera tangente al cono lo intersecta en un
círculo horizontal llamado su círculo de tangencia o de contacto.