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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

Supongamos que el plano Π tiene un ángulo β > 0 respecto al plano horizontal
xy, y que D es su esfera de Dandelin, es decir, que es tangente a Π y al cono C con
punto y círculo de contacto p y S respectivamente. Sea Λ el
plano horizontal que contiene al círculo de tangencia S. Sea
` = Π ∩ Λ, línea que podemos pensar como paralela al eje x
y que llamaremos la directriz.
Consideremos un punto x ∈ Π ∩ C. De la proyección al
plano yz, es fácil deducir que
d (x, `) sen β = d (x, z) ,
donde z es la proyección ortogonal de x al plano horizontal
Λ. Tomemos ahora el plano vertical que pasa por x y el eje
z. Claramente contiene a z y a la linea del cono ζ x que pasa
por x; y es fácil ver en él que
z
d (x, z) = d (x, y) sen α,
donde y = ζ x ∩ Λ ( justo la y que aparece en el Lema). De
estas dos ecuaciones y el Lema se sigue que
sen β
d (x, p) =
d (x, `) .
sen α

³x
z

®

y

¤

x

Lo cual demuestra que los planos que no pasan por el origen (los que tienen
esferas de Dandelin) intersectan al cono C en cónicas cuya excentricidad depende de
los ángulos (tal como queriamos demostrar).
Obsérvese que no eliminamos a los planos horizontales (β = 0) de la afirmación
anterior. Cuando el plano Π tiende a uno horizontal, la cónica se hace un círculo, el
foco p tiende a su centro y la directriz ` se aleja hacia el infinito.
EJERCICIO 2.23 Concluye la demostración de que Π ∩ C es una hipérbola cuando las dos
esferas de Dandelin de Π estan en los dos lados del cono usando a estas y a los dos focos.
EJERCICIO 2.24 Demuestra que si β = α entonces el plano Π tiene una única esfera de
Dandelin (el caso de la parábola).