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CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES

y es casi imposible que lo aprecie. Pero el punto es que, de alguna manera, Klein dijo:
para hacer geometría es importantísimo estudiar las transformaciones (funciones) del
plano en sí mismo, conocerlas de arriba a abajo; y en este Capítulo en esas andamos...
pues el Siglo XX, al transcurrir, le fué dando más y más razón al visionario.
Damos muy rapidamente las nociones generales de función en la primera Sección.
Pues, aunque parece que se nos cae el nivel por un ratito, vale la pena establecer cierta
terminología muy general que se usa en su manejo y ciertos ejemplos muy particulares
que serán de gran interes en el estudio de las transformaciones geométricas, y que a su
vez, serviran para familiarizarse con los conceptos básicos. Despues le entramos a las
transformaciones geométricas. El orden en que lo hacemos no es el que técnicamente
facilita las cosas (empezar por transformaciones lineales), sino el que intuitivamente
parece más natural (empezar por transformaciones rígidas); y de ahí, deducir la noción
de transformación lineal para regresar de nuevo y desarrollar las fórmulas analíticas.

3.1

Funciones y transformaciones

En los siguientes parrafos se usa el tipo de letra este para las nociones que se
definen formalmente y este otro para terminología comoda y coloquial que facilita
mucho el manejo de las funciones.
Dados dos conjuntos A y B, una función f de A a B, denotado f : A → B, es una manera de asociar a cada elemento
f
a ∈ A un elemento de B, denotado f(a). Por ejemplo, las funA
B
ciones de R en R se describen comunmente mediante fórmulas
f(a)
a
como f (x) = x2 o g(x) = 2x + 3, que dan la regla para asociar a cada número otro número (e.g., f (2) = 4 o g(−1) = 1).
Otro ejemplo: en el Capítulo 1 vimos las funciones de R en R2
que describen rectas parametrizadas. Pero en general, y esa es la maravillosa idea
generalizadora (valga el pleonasmo), una función no tiene porque estar dada por una
fórmula; a veces es algo dado por “Dios”, una “caja negra”, que “sabe” como asociarle a los elementos del dominio (el conjunto A, en la notación con que empezamos)
elementos del contradominio B.
f
Se dice que una función f : A → B es inyectiva
A
B
si f (a) = f(a0 ) implica que a =
a
f
a0 . Es decir, si elementos diferA
B
entes de A van bajo f a elemena´
tos diferentes de B (a 6= a0 ⇒
f (a) 6= f (a0 )). Se dice que una
f(A)
función f : A → B es suprayectiva o sobre si para cada elemento de B hay uno en A que le “pega”, es decir, si para cada
b ∈ B existe a ∈ A tal que f(a) = b. Y se dice que es biyectiva,
si es inyectiva y suprayectiva; también se le llama correspondencia biunívoca. (Diagramas de funciones no inyectiva y no sobre en las figuras adjuntas).