3.1. FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

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Las funciones tienen una noción natural de composición, al aplicarse una tras otra
para dar una nueva función. Dadas dos funciones f : A → B y g : B → C, su
composición, denotada g ◦ f y a veces llamada f seguida de g o bien “g bolita f ”,
es la función
g° f

g◦f :A→C

f

definida por la fórmula

A

g
B

C

(g ◦ f )(a) = g(f (a)) .
Hay que resaltar que la composición de funciones está definida sólo cuando el
dominio de g (es decir, de donde “sale” o en donde está definida, el conjunto B en
nuestro caso) es igual al contradominio de f (es decir, a donde “llega”, el final de la
flecha, donde “caen”, otra vez B en nuestro caso); si no fuera así, “g no sabría que
hacerle a algunos f (a)”. También hay que resaltar que la dirección de la escritura
“g bolita f ” es la contraria a la de la acción o lectura (“f seguida de g” o bien “f
compuesta con g”); y esto se ha convenido por la costumbre así, pues la fórmula, que
a final de cuentas es quien manda, queda mucho más natural.
Por ejemplo, con las funciones f, g : R → R que definimos con fórmulas unos
parrfos arriba se tiene que (g ◦f )(x) = 2x2 +3 mientras que (f ◦g)(x) = 4x2 +12x+9,
asi que sí importa el orden; la composición está lejos de ser conmutativa; en general,
aunque g ◦ f esté definida, f ◦ g ni siquiera tiene sentido.
Cada conjunto A, trae consigo una función llamada su identidad definida por
idA : A → A
idA (a) = a

f

que es la función que no hace nada, que deja a todos en su
lugar. Y, aunque parezca inocua, es fundamental darle un
nombre, pues entonces podemos escribir mucho, por ejemplo:

g

Lema 3.1.1 Dada una función f : A → B, se tiene
i)
f es inyectiva
⇔ ∃ g:B→A
ii) f es suprayectiva ⇔ ∃ g : B → A

B

A

tal que
tal que

g ◦ f = idA
f ◦ g = idB

EJERCICIO 3.1 Da ejemplos de funciones inyectivas que no son sobre y a la inversa.
EJERCICIO 3.2 Demuestra el lema anterior y el siguiente corolario de él.

Corolario 3.1.1 Dada una función f : A → B, entonces f es biyectiva si y sólo si
existe una función g : B → A tal que g ◦ f = idA y f ◦ g = idB .