Capítulo 3
Transformaciones
Sin duda, el concepto de función juega un papel fundamental en todas las ramas de
la matemática de hoy en día: en la Geometría Elemental (aunque sea viejita), se
dice que dos figuras son Congruentes si existe una Transformación Rígida que lleve
una sobre la otra, y que son Semejantes si existe una de estas transformaciones que
seguida de una Homotesia (un cambio de escala) lleve una a la otra; en el Análisis
o el Cálculo se estudian las funciones Integrables o Diferenciables; en la Topología,
las funciones Continuas; en la Teoría de los Grupos se estudian los Homomorfismos
(funciones entre grupos que preservan la operación ahí definida); en el Álgebra Lineal
se estudian las funciones Lineales y las Afines; etc., siempre que hay algún tipo
interesante de “objetos matemáticos” parece haber una correspondiente noción de
“funciones” que los relacionan.
Sin haberlo hecho explicito, los griegos manejaban intuitivamente el concepto de
transformación rígida y de semejanza; por ejemplo, en el axioma “todos los ángulos
rectos son iguales”, en la palabra “iguales” se incluye la idea de que se puede mover
uno hasta traslaparse sobre el otro, y en sus teoremas de semejanza la noción ya se
hace explicita y habla en el fondo de un cierto tipo de funciones. Más adelante, en el
surgimiento del Cálculo (Newton y Leibnitz) así como en el de la Geometría Analítica
(Descartes) o en el Algebra de los Arabes, las funciones jugaban un papel importante
pero debajo del agua o en casos muy concretos (funciones reales de variable real
dadas por fórmulas en el Cálculo, por ejemplo). Sin embargo, el aislamiento del
concepto de función, la generalidad de la noción –que englobaba cosas al parecer
distantes–, es muy reciente: termina de afinarse con la Teoría de los Conjuntos que
arranca Cantor en la segunda mitad del XIX. Pero es tan imediata su aceptación (o
bien, ya estaba tan madura su concepción) que a principios del Siglo XX, Klein, en
una famosísima conferencia (conocida como “El Programa de Erlangen”) se avienta el
boleto de afirmar que la Geometría es el estudio de un espacio (un conjunto de puntos,
piénsese en el plano) junto con un grupo de transformaciones (un conjunto específico
de funciones del espacio en sí mismo) y de las estructuras que permanecen invariantes
bajo el grupo. En fin, todavia el estudiante no tiene ejemplos claros de estas nociones
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