2.7. *ESFERAS DE DANDELIN

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Tomemos ahora un plano Π casi horizontal. Este plano Π tiene exactamente dos
esferas tangentes que tambien son tangentes al cono C, que llamaremos sus esferas de
Dandelin, D1 y D2 . Veámos, y para fijar ideas, pensemos que el plano Π intersecta
al cono arriba del origen, pero no muy lejos. Si pensamos en una esfera muy grande
tangente al cono, ésta esta muy arriba; al desinflarla (manteniéndola siempre tangente
al cono) va bajando. Hay un primer momento en el que toca a Π, esa es D1 . Al seguir
desinflándola, intersecta a Π en círculos, y hay un último momento
en que lo toca —esa es D2 — para seguir decreciéndo, insignificante,
hacia el origen.
Más formalmente, y sin perder generalidad, podemos suponer que
el plano Π contiene a la dirección del eje x; entonces las esferas de
Dandelin de Π corresponden a dos de los cuatro círculos tangentes a
las tres rectas que se obtienen de intersectar al plano yz con el plano
Π y el cono C (precisamente, los dos que caen dentro del cono).
Sean p1 y p2 los puntos donde D1 y D2 tocan, respectivamente,
al plano Π. Estos serán los focos de la elipse Π ∩ C. Para verlo
necesitamos un lema que es más dificil enunciar que probar.
Lema 2.7.1 Sea D una esfera de Dandelin de un plano Π. Sea p su punto de contacto
con Π; y sea S el círculo de tangencia de D en C. Para cualquier x ∈ Π ∩ C , sea y
la intersección de la recta del cono por x y el círculo de tangencia, i.e. y = S ∩ ζ x ;
se tiene entonces que
d (x, p) = d (x, y) .
Basta observar que los segmentos xp y xy son ambos tangentes
a la esfera D y que, en general, dos segmentos que salen del mismo
punto y llegan tangentes a una esfera miden lo mismo.
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Ahora sí, podemos demostrar que Π ∩ C es una elipse tal como
las definimos. Sean S1 y S2 los círculos de tangencia de las esferas
de Dandelin D1 y D2 , respectivamente. Dado x ∈ Π ∩ C, según el
Lema, sus distancias a los respectivos focos se pueden medir en la linea del cono como
las distancias de x a los círculos de tangencia S1 y S2 . Como x está entre estos dos
círculos, la suma de las distancias es constante (a saber, es la distancia, medida en
lineas del cono, entre S1 y S2 ).
Cuando el plano Π es cercano a un plano vertical (incluyendo
a este caso), se tiene que Π intersecta a ambos lados del cono C.
Pero también tiene dos esferas de Dandelin tangentes a él y al cono.
De nuevo, sus puntos de tangencia con el plano son los focos de la
hipérbola Π ∩ C, y la demostración es análoga (usando al Lema).
Dejamos los detalles al lector (siguiente ejercicio), pues para el
caso de la parábola necesitamos encontrar la directriz, y su análisis
incluira los tres casos.