3.1. FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

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de salida” 7−→ con la flecha → que denota función; puede inclusive pensarse que
esta última (→) es el conjunto de todas las flechitas (7−→) entre los elementos). En
nuestro ejemplo, las dos funciones de enmedio son funciones constantes; y las únicas
transformaciones son las de los extremos, id y ρ, donde obsérvese que ρ es su propio
inverso, es decir, ρ ◦ ρ = id.
Consideremos ahora a ∆3 := {0, 1, 2}, un conjunto con tres elementos. Una
función de ∆3 en sí mismo puede especificarse por una tablita
0 −
7 → x
1 −
7 → y
2 −
7 → z
donde x, y, z ∈ ∆3 . Como las imágenes (x, y, z ∈ ∆3 ) son arbitrarias, tenemos que hay
33 = 27 funciones en total; pero de estas solamente 3×2×1 = 6 son transformaciones.
Pues si queremos que sea biyectiva, una vez que el 0 escoje su imágen, al 1 solo le
quedan dos opciones para escoger y cuando lo hace, el 2 ya no le queda más que una
opción obligada.
0
Estas 6 transformaciones son
id
ρ1
ρ2
½
0 7−→ 0
0 7−→ 1
0 7−→ 2
2
1
1
1 7−→ 2
1 7−→ 0
1 7−→ 1
0
2 7−→ 2
2 7−→ 0
2 7−→ 1
1

α
0 7−→ 0
1 7−→ 2
2 7−→ 1

β
0 7−→ 2
1 7−→ 1
2 7−→ 0

γ
0 7−→ 1
1 7−→ 0
2 7−→ 2

°

¯

1

2

®

que podemos visualizar como las “simetrías” de un triángulo equilatero. Vistas así,
las tres de arriba corresponden a rotaciones (la identidad rota 0 grados), y cumplen
que ρ1 y ρ2 son inversas, es decir ρ1 ◦ ρ2 = ρ2 ◦ ρ1 = id , correspondiendo a que una
rota 120◦ en una dirección y la otra 120◦ en la dirección contraria. Pero también
cumplen que ρ1 ◦ ρ1 = ρ2 (que podríamos escribir ρ21 = ρ2 si convenimos en que
n

z
}|
{
f n =f ◦ f ◦ ... ◦ f

donde f es cualquier transformación; es decir, f n es f compuesta consigo misma nveces, lo cual tiene sentido sólo cuando f sale de y llega a el mismo conjunto). Por su
parte, las tres transformaciones de abajo se llaman transposiciones y geométricamente
se ven como reflexiones. Cumplen que α2 = β 2 = γ 2 = id, y además cumplen otras
relaciones como que α ◦ β = ρ1 , lo cual se ve persiguiendo elementos:
β
α
0 7−→ 2 7−→ 1
;
1 7−→ 1 −
7 → 2
2 7−→ 0 −
7 → 0

0
½2
2