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CAPÍTULO 3. TRANSFORMACIONES

En este caso, a g se le da el nombre de inversa de f y se le denota f −1 . Aunque
aquí hay que hacer notar que el simbolito f −1 se usa también de una manera más
general para denotar conjuntos. Pues, para cualquier subconjunto B 0 ⊂ B podemos
definir su imágen inversa f −1 (B 0 ) ⊂ A como
f −1 (B 0 ) := {a ∈ A | f (a) ∈ B 0 } .
Tenemos entonces que f es inyectiva si y sólo si para todo
b ∈ B se tiene que ]f −1 (b) ≤ 1 (donde ] denota cardinalidad
y hemos identificado f −1 (b) con f −1 ({b})), es decir, “a cada
elemento de B le pega a lo más uno de A”; y que f es sobre
si y sólo si para todo b ∈ B se tiene que ]f −1 (b) ≥ 1 (es decir, que f −1 (b) no es el
conjunto vacio). Por lo tanto, f es biyectiva si y sólo si ]f −1 (b) = 1 para todo b ∈ B,
es decir, si y sólo si f −1 es una función bien definida al aplicarla a singuletes de B.
También se puede definir la imágen directa de subconjuntos A0 ⊂ A , o simplemente su imágen, como
f(A0 ) := {f(a) | a ∈ A0 } ⊂ B .
Finalmente llegamos a la definición que más nos interesa.
Definición 3.1.1 Una transformación de A es una función biyectiva de A en A.
Hay que hacer notar que el término “transformación” se usa de diferentes maneras
en otros textos y en otros contextos. Pero aquí estaremos tan enfocados a funciones
biyectivas de un conjunto en sí mismo que lo asignaremos a ellas.
EJERCICIO 3.3 Demuestra que si f : A → B y g : B → C son biyectivas entonces g ◦ f
también es biyectiva. (Demuestra que (g ◦ f)−1 = f −1 ◦ g −1 ).
EJERCICIO 3.4 Demuestra que si f y g son transformaciones de un conjunto A entonces
(f ◦ g) también es una transformación de A.

3.1.1

Grupos de Transformaciones

Veremos ahora ejemplos “chiquitos” de ciertos conjuntos de transformaciones, que
por su importancia reciben un nombre especial, el de grupo.
Consideremos un conjunto con dos elementos, {0, 1}; llamémoslo ∆2 . Las funciones de ∆2 en sí mismo son 4:
id
0 7−→ 0
1 7−→ 1

c0
0 7−→ 0
1 7−→ 0

c1
0 7−→ 1
1 7−→ 1

ρ
0 7−→ 1
1 7−→ 0

donde hemos usado la notación x 7−→ y para especificar que el elemento x va a dar
al elemento y bajo la función en cuestión (no hay que confundir la flechita con “raya