2.6. *ARMONÍA Y EXCENTRICIDAD

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Llamemos a al punto correspondiente, es decir, sea a = αh p + β h q. Obsérvese
que a es el punto medio cuando h = 1; que a está más cerca de p para h < 1 y que
se aproxima a q conforme h crece. Para h 6= 1, también tenemos otra solución fuera
del segmento (que viene de tomar β = −hα), a saber
α0h =

1
αh
=
1−h
αh − β h

y β 0h =

h
βh
.
=
h−1
β h − αh

b

a
q
Llamémos b a esta otra solución de (2.18) en ` (es decir,
0
0
b = αh p + β h q), y nótese que b está en el rayo exterior de ` correspondiente
al punto,
p
p o q, más cercano a a (h < 1 o h > 1, respectivamente). (Y nótese tambien que la
expresión de αh y β h en términos de α0h y β 0h es exactamente la misma).
Clásicamente, se dice que la pareja a, b es armónica respecto a la pareja p, q (o
que a y b son conjugados armónicos respecto a p y q) pues (como reza la definición
general) los cuatro puntos están alineados y cumplen la relación
d (p, b)
d (p, a)
=
,
d (a, q)
d (b, q)

(2.19)

que, en nuestro caso, es la “razón de armonía” h. Se tiene claramente que la relación
de armonía es simétrica (pues p, q son armónicos respecto a a, b). Y para aclarar
otro poco su relación geométrica, hay que observar que si en la recta real tomamos
a p y q como los puntos −1 y 1 entonces el conjugado armónico de x es x−1 , y el
0 queda como conjugado armónico del infinito (así como el punto medio de p y q,
h = 1, fué un caso especial).
Ahora sí, demostremos que el círculo con diametro el
segmento ab está dado por la ecuación (2.18), que es,
recuérdese, d (x, p) = h d (x, q). En el Ejercicio 2.1 se
debió demostrar que el círculo con diametro ab está dado
a
q
por la ecuación (x − a) · (x − b) = 0 (si no se hizo, comp
pruébese ahora). Desarrollemos entonces esta expresión,
utilizando que los coeficientes son coordenadas baricéntricas (i.e., que suman 1)
(x − a) · (x − b) = (x − αh p − β hq) · (x − α0h p − β 0h q)
= (αh (x − p) + β h (x − q)) · (α0h (x − p) + β 0h (x − q))
= αh α0h (x − p) · (x − p) + β h β 0h (x − q) · (x − q)
+ (α β 0 + β α0 ) (x − p) · (x − q)
(2.20)
µ h h¶ h h
¡
¢
1
=
(x − p) · (x − p) − h2 (x − q) · (x − q)
2
1−h

donde hemos usado las definiciones —en términos de h 6= 1— de nuestros coeficientes
(ver Ejercicio 2.6.1). Se tiene entonces que (x − a) · (x − b) = 0 si y sólo si (x − p) ·
(x − p) = h2 (x − q) · (x − q) que es justo el cuadrado de la ecuación (2.18).
Además, tenemos al menos otras tres maneras interesantes de detectar armonía.

b