2.3. HIPÉRBOLAS

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EJERCICIO 2.14 Dibuja algunas elípses usando el método del jardinero. ¿Verdad que no
salen de un sólo trazo?
EJERCICIO 2.15 Sea c > 0, dibuja la gráfica de la función f : R → R definida por
f(x) = |x − c| + |x + c|. Concluye que si a > c entonces f(x) = 2a si y sólo si |x| = a.
EJERCICIO 2.16
Sean C1 y C2 dos círculos con centros a y b respectivamente, tales que C2 está contenido en el interior de C1 . Demuestra
que el conjunto de puntos que son centro de un círculo C3 tangente tanto
a C1 como a C2 es un par de elipses con focos a y b. Observa que en el
caso límite en que C1 es tangente a C2 , una de las elipses se degenera en
un segmento.

2.3

b
a

Hipérbolas

La hipérbola está definida como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia
(en valor absoluto) de sus distancias a dos puntos fijos p y q,
llamados focos, es constante. Entonces, una hipérbola H está
x
definida por la ecuación
|d (x, p) − d (x, q)| = 2a ,

(2.13)

donde a > 0, y ademas 2a < d(p, q) =: 2c (ver Ejercicio 2.3).
Si tomamos como focos a p = (c, 0) y a
q = (−c, 0), esta ecuación toma la forma
¯q
¯
q
¯
¯
2
2
¯ (x − c) + y 2 − (x + c) + y 2 ¯ = 2a
¯
¯

c

q

a

p

p

q

(2.14)

y veremos a continuación que es equivalente a
x2 y 2
− 2 =1
a2
b

(2.15)

donde b > 0 está definida por a2 + b2 = c2 . A esta última
ecuación se le llama la ecuación canónica de la hipérbola.
Como las dos primeras ecuaciones involucran valor absoluto, entonces tienen dos
posibilidades que corresponden a las dos ramas de la hipérbola. En una de ellas la
distancia a uno de los focos es mayor y en la otra se invierten los papeles. De la
ecuación (2.14) se tienen dos posibilidades:
q
q
2
2
(x − c) + y = 2a + (x + c)2 + y 2
q
q
(2.16)
(x + c)2 + y 2 = 2a + (x − c)2 + y 2