2.2. ELÍPSES

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no es un círculo al pedir 0 < c). Es fácil ver que entonces la
intersección de E con el eje x consiste de los puntos (a, 0) y
(−a, 0), pues la ecuación (2.8) para puntos (x, 0) es
|x − c| + |x + c| = 2a
que sólo tiene las soluciones x = a y x = −a (ver Ejercicio
2.2), y de aquí el nombre de “semieje mayor” para la constante a. Como el eje y es ahora la mediatriz de los focos, en
él, es decir en los puntos (0, y), la ecuación (2.8) se vuelve
p
c2 + y 2 = a

a

b
c

que tiene soluciones y = ±b, donde b > 0, llamado el semieje menor de la elípse E,
es tal que
b2 = a2 − c2 .
Ahora sí, consíderemos la ecuación (2.8), que con x = (x, y) y la definición de
nuestros focos se expresa
q
q
2
2
(x − c) + y + (x + c)2 + y 2 = 2a.
(2.9)

Si elevamos al cuadrado directamente a esta ecuación, en el lado izquierdo nos quedaría
un incomodo término con raices. Así que conviene pasar a una de las dos raices al
otro lado, para obtener
q
q
2
2
(x − c) + y = 2a − (x + c)2 + y 2 .
Elevando al cuadrado, se tiene

q
(x − c) + y = 4a − 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2
q
2
2
2
x − 2cx + c = 4a − 4a (x + c)2 + y 2 + x2 + 2cx + c2
q
4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4cx
q
a (x + c)2 + y 2 = a2 + cx
2

2

2

(2.10)

Elevando de nuevo al cuadrado, nos deshacemos de la raiz, y despues, agrupando
términos, obtenemos
¡
¢
a2 (x + c)2 + y 2 = a4 + 2a2 cx + c2 x2
(2.11)
2 2
2
2 2
2 2
4
2
2 2
a x + 2a cx + a c + a y = a + 2a cx + c x
¡ 2
¢
¡
¢
a − c2 x2 + a2 y 2 = a2 a2 − c2
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2