2.1. CÍRCULOS

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Por ejemplo, la ecuación del círculo (2.3) tiene la expresión vectorial
((x, y) − (3, −1)) · ((x, y) − (3, −1)) = 4.
Si queremos conocer los puntos de tangencia desde el punto a = (1, 3), encontramos
primero la ecuación de su línea polar:
((x, y) − (3, −1)) · ((1, 3) − (3, −1))
(x − 3, y + 1) · (−2, 4)
−2x + 4y + 10
x − 2y

=
=
=
=

4
4
4
3

De aquí, para encontrar `a ∩C, conviene sustituir x = 3+2y en la ecuación original
del círculo (2.3) para obtener
(3 + 2y)2 + y 2 − 6 (3 + 2y) + 2y = −6
5y 2 + 2y − 3 = 0.
Las raices de esta ecuación cuadrática se obtienen por la fórmula
clásica:
√
−2 ± 4 + 60
−2 ± 8
y=
=
10
10
que nos da valores y0 = −1 y y1 = 3/5. Y estos, sustituyendo
de nuevo en la ecuación de la polar nos dan los puntos de tangencia de a; que son
(1, −1) y (1/5) (21, 3). Puede checar el estudiante que satisfacen la ecuación del
círculo, aunque los hayamos obtenido (al final) sustituyendo en la ecuación lineal de
la polar, y que efectivamente sus tangentes pasan por a.
EJERCICIO 2.9 Encuentra los puntos de tangencia:
a) al círculo x2 − 2x + y2 − 4y = −3 desde el punto (−1, 2).
b) al círculo x2 + y 2 = 1 desde el punto (2, 2) .
EJERCICIO 2.10
Sea σ una secante de un círculo C, es
decir un segmento con extremos en el círculo. Si trazamos las
tangentes por sus extremos, estas se intersectan en un punto,
llamémosle el polar de σ. Demuestra que tres secantes son concurrentes si y sólo si sus puntos polares son colineales.
EJERCICIO 2.11 El estudiante que en el ejercicio anterior observó la necesidad formal de
eliminar a los diametros en la definición de punto polar de un segmento, hizo muy bien;
pero el que no se puso quisquilloso y ni cuenta se dió, hizo mejor. Penso proyectivamente.
Demuestra que si permitimos que el centro p entre a nuestras consideraciones anteriores
y añadimos puntos “polares” a los diametros que juntos forman la nueva linea `p polar
con p, entonces la polaridad se extiende a todas las lineas (falta definirla en las tangentes