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CAPÍTULO 2. CÓNICAS I (PRESENTACIÓN)

definir esferas en R3 y, como veremos en el siguiente parrafo (en el que vale la pena
que el estudiante tenga en mente cómo traducir a R3 , esferas y planos), de la ecuación
vectorial se puede extraer mucha información geométrica interesante.
Debemos también remarcar que en las siguientes secciones donde empezamos a
estudiar las otras cónicas no aparece el equivalente a esta ecuación vectorial del círculo.
Para lograrlo en general nos falta desarrollar mucho más teoría.
EJERCICIO 2.1 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones de un círculo? Y en
su caso, ¿de cuál?
x2 − 6x + y 2 − 4y = 12
x2 + 4x + y 2 + 2y = 11
2x2 + 8x + 2y 2 − 4y = −8
x2 − 4x + y 2 − 2y = −6
4x2 + 4x + y 2 − 2y = 4
EJERCICIO 2.2 ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por
dos puntos (distintos) a y b?
EJERCICIO 2.3 Sean a y b dos puntos (distintos) en el plano; y sean C1 el círculo con centro
a y radio r1 y C2 el círculo con centro b y radio r2 . Demuestra que C1 y C2 son tangentes
(i.e. se intersectan en un único punto) si y sólo si r1 + r2 = d (a, b) o r1 + d (a, b) = r2
o r2 + d (a, b) = r1 . ¿A qué corresponden geométricamente las tres condiciones anteriores;
haz un dibujo de cada caso?
EJERCICIO 2.4 Dados los círculos como en el ejercicio anterior, da condiciones sobre sus
radios y la distancia entre sus centros para que:
a) el círculo C1 esté contenido en el interior del círculo C2 .
b) el círculo C1 esté contenido en el exterior del círculo C2 (y viceversa).
c) el círculo C1 y el círculo C2 se intersecten en dos puntos.
EJERCICIO 2.5 Demuestra que por tres puntos no colineales a, b y c pasa un único círculo,
llamado el circuncírculo del triángulo a, b, c.
EJERCICIO 2.6 Demuestra que dadas tres lineas no concurrentes y no paralelas dos a dos
existen exactamente cuatro círculos tangentes a las tres; al que esta contenido en el interior
del triángulo se le llama su incírculo.

x
p

q

EJERCICIO 2.7
Sean p y q dos puntos distintos en el plano (o en R3 ).
Demuestra que el conjunto de puntos cuyas lineas por p y q son ortogonales, es
un círculo (o una esfera) que “quiere contener” a p y a q. Más precisamente,
que el conjunto definido por la ecuación
(x − p) · (x − q) = 0

es el círculo con el segmento pq como diametro. (Echale un ojo al ejercicio siguiente).