1.12. *LOS ESPACIOS DE RECTAS EN EL PLANO

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de El Espacio, que por milenios se considero única y amorfa –“el espacio en que
vivimos”– se pluraliza a los espacios. Ya vimos que El Espacio teórico que consideraron los griegos es sólo la instancia en dimensión 3 de la familia de espacios euclidianos
En ; pero además la pluralización (pasar de uno a muchos) se da en otro sentido. En
matemáticas, y en particular en la geometría, surgen naturalmente otros conjuntos,
además de los En , con plenos derechos a ser llamados “espacios”. Los dos “espacios”4
que nos ocupan ahorita son los de rectas en el plano. Consideraremos cada recta
como un punto de un nuevo “espacio” y puesto que intuitivamente podemos decir
si dos rectas son cercanas o no, en este nuevo “espacio” sabremos si dos puntos lo
estan. La idea clave está en que, así como a los puntos del plano euclidiano clásico
Descartes les asoció parejas de números, a las rectas del plano también les hemos
asociado númeritos: los involucrados en sus ecuaciones.
En el Ejercicio 1.8.1 de la Sección 8, se hizo notar que a cada terna de números
(a, b, c) ∈ R3 , con (a, b) 6= (0, 0), se le puede asociar una recta en R2 , a saber, la
definida por la ecuación ax + by = c; y el estudiante debía demostrar que los planos
por el origen en R3 corresponden a los haces de rectas en el plano. En esta última
sección abundaremos en estas ideas. Se puede decir que la pregunta que nos guia es
¿cuántas rectas hay en R2 ?, pero el “cuántas” es demasiado impreciso. Veremos que
las rectas de R2 forman algo que llamaremos el “espacio” de rectas, y para esto les
daremos “coordenadas” explicitas, muy a semejanza de las coordenadas polares para
los puntos.

1.12.1

Rectas orientadas

Consideremos primero a las rectas orientadas en R2 pues a ellas se les puede
asociar un vector normal (y por tanto una ecuación) de manera canónica. Una recta
orientada es una recta ~` junto con una orientación preferida,
que nos dice la manera positiva de viajar en ella. Entonces, de
u
todos sus vectores direccionales podemos escoger al unitario d
con la orientación positiva y como vector normal, escogemos
al compadre ortogonal de éste; es decir, al vector unitario tal
0
que despues de la orientación de la recta nos da la orientación
d
positiva del plano. Así, cada recta orientada está definida por
c
una ecuación unitaria única
u·x=c
1

dónde u ∈ S , y c ∈ R es su distancia orientada al origen.
A cada recta orientada se le puede asociar su semiplano positivo u · x ≥ c; así que
también podemos pensar a las rectas orientadas como los semiplanos.
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Mantenemos las comillas pues la noción aún no esta bien definida, va en la dirección de lo que
ahora se llama Topología.

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