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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
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De tal manera que el determinante es una “área signada”, no sólo nos da el área
sino que también nos dice si los vectores están orientados positiva o negativamente.
Obsérvese que nuestra manera de detectar paralelismo corresponde entonces a que el
área es cero (que el paralelogramo en cuestión es unidimensional).
EJERCICIO 1.101
El área signada de un triángulo orientado x, y, z
se debe definir como det ((y − x) , (z − x)). Demuestra que sólo depende
del orden cíclico en que aparecen los vértices, es decir, que da lo mismo si
tomamos como ternas a y, z, x o a z, x, y. Pero que es su inverso aditivo si
tomamos la otra orientación z, y, x para el triángulo.

1.11.4

x

y

La mediatriz

x
q
p

z

Cuando empezemos a estudiar las curvas cónicas, las definiremos como lugares geométricos de puntos que cumplen una cierta
propiedad que involucra distancias. Así que para terminar este capítulo veremos los ejemplos más sencillos.
¿Dados dos puntos p y q (∈ R2 ) cuál es el lugar geométrico de
los puntos que equidistan de ellos? Es decir, hay que describir al
conjunto
©
ª
x ∈ R2 | d(p, x) = d(q, x) .

Desarrollando la ecuación d(p, x)2 = d(q, x)2 , que equivale a la anterior pues las
distancias son positivas, tenemos
(p − x) · (p − x) = (q − x) · (q − x)
p · p − 2(p · x) + x · x = q · q − 2(q · x) + x · x
p · p − q · q = 2(p − q) · x
que se puede reescribir como
1
(p − q) · x = (p − q) · ( (p + q)) .
2
Y esta es la ecuación normal de la recta ortogonal al segmento pq y que lo intersecta
en su punto medio, llamada la mediatriz de p y q.