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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
Tomando el producto interior de n con la segunda ecuación, obtenemos
n · q − n · p = t(n · n) .

De donde, sustituyendo la primera ecuación, se puede despejar t (pues n 6= 0) en
puros términos conocidos:
t=

c − (n · p)
.
n·n

De aquí se deduce que
µ

¶
c − (n · p)
q = p+
n
n·n
d(p, `) = |t n| = |t| | n|
|c − (n · p)|
|c − (n · p)|
|n| =
.
=
|n · n|
|n|
Puesto que sólo hemos usado las propiedades del producto interior, y la norma,
sin ninguna referencia a las coordenadas, podemos generalizar a R3 ; o bien a Rn
pensando que un hiperplano (definido por una ecuación lineal n · x = c) es una recta
cuando n = 2 y es un plano cuando n = 3.
Proposicion 1.11.1 Sea Π un hiperplano en Rn dado por la ecuación n · x = c, y
sea p ∈ Rn cualquier punto. Entonces
d(p, Π) =

|c − (n · p)|
,
|n|

y la proyección ortogonal de p sobre Π (es decir, el punto más cercano a p en Π) es
µ
¶
c−n·p
q=p+
n.
n·n
EJERCICIO 1.97 Evalua las dos fórmulas del teorema anterior cuando p ∈ Π.
EJERCICIO 1.98 Encuentra una expresión para d(p, `) cuando ` = {q + tv | t ∈ R}.
EJERCICIO 1.99 Demuestra que la fórmula de la distancia de un punto a un plano obtenida
en el Ejercicio 1.10.2 coincide con la de la Proposición 1.11.1.
EJERCICIO 1.100 Encuentra la distancia del punto ... a la recta ... y su proyección
ortogonal.