1.11. DISTANCIA

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Espacio métrico es un conjunto en el que está definida una distancia que cumple
con las cuatro propiedades del Teorema 1.11.1.
EJERCICIO 1.90 Da explicitamente con coordenadas la fórmula de la distancia en R3 y en
Rn .
EJERCICIO 1.91 Demuestra el Teorema 1.11.1.
EJERCICIO 1.92 ¿Podría el lector mencionar algún espacio métrico distinto del que se
definió arriba?

1.11.1

El espacio euclidiano (primera misión cumplida)

Cuando a Rn se le piensa junto con la distancia antes definida (llamada la distancia
euclidiana), se dice que es el espacio euclidiano de dimensón n –que a veces se denota
En , y que formalmente podríamos definir En := (Rn , d)– ya que éste cumple con los
postulados de Euclides para n = 2. Veámos.
Hemos demostrado que R2 cumple los tres postulados que se refieren a rectas,
nos falta analizar dos. El II se refiere a “trazar” círculos. Ya hemos trabajado con
el círculo unitario y claramente se generaliza. Dado un punto p y una distancia r
(un número positivo) definimos el círculo con centro p y radio r como el conjunto
de puntos a distancia r de p (se estudiará en el siguiente Capítulo). Es un cierto
subconjunto de R2 , que además es no vacio (es fácil dar explicitamente un punto en
él usando coordenadas); y nuestra noción de “definir” un conjunto es la análoga de
“trazar” para los griegos. Se cumple entonces el axioma II.
Nos falta unicamente discutir el IV, “todos los ángulos rectos son iguales”. Esta
afirmación es sútil. Tenemos, desde hace un buen rato, la noción de ángulo recto,
perpendicularidad u ortogonalidad, pero ¿a qué se refiere la palabra “igualdad” en
el contexto griego? Si fuera a la igualdad del numerito que mide los ángulos, la
afirmación es obvia, casi vacua –“π/2 es igual a π/2”–, y no habría necesidad
de enunciarla como axioma. Entonces se refiere a algo mucho más profundo. En
este postulado está implicita la noción de movimiento, se entiende “igualdad” como
que podemos mover al plano para llevar un ángulo recto formado por dos rectas a
cualquier otro. Esto es claro al ver otros Teoremas clásicos como “dos triángulos son
iguales si sus lados miden lo mismo”: no se puede referir a la igualdad estricta de
conjuntos, quiere decir que se puede llevar a uno sobre el otro para que, entonces
sí, coincidan como conjuntos. Y este llevar es el movimiento implicito en el uso
de la palabra “igualdad”. En términos modernos, esta noción de movimiento del
plano se formaliza con la noción de función. Nosotros lo haremos hasta el Capítulo
3, y corresponderá formalmente a la noción de isometría (una función de R2 en R2
que preserva distancias). Pero ya no queremos distraernos con la discusión de la
axiomática griega. Creámos de buena fe que al desarrollar formalmente los conceptos