1.9. NORMA Y ÁNGULOS

63

Las propiedades de la función u que hemos enumerado, traducidas a sus coordenadas (por ejemplo, la del vector velocidad se traduce a cos0 θ = − sen θ y
sen0 θ = cos θ) son suficientes para definir a las funciones cos y sen, y en adelante
las daremos por un hecho. Sus bien conocidas gráficas aparecen en la Figura.
Observemos, por último, que cualquiera de las funcos
1
ciones coseno o seno casi determinan al ángulo pues
de la ecuación anterior se pueden despejar con la am0
¼
biguedad de un signo al tomar raiz cuadrada, es decir,
-1
√
sen θ = ± 1 − cos2 θ.
1
sen
Dicho de otra manera, dado x en el intervalo de −1
a 1 (escrito x ∈ [−1, 1] 3 , o bien −1 ≤ x ≤ 1) ten0
¼
1
emos dos
posibles
puntos
en
S
con
esa
ordenada,
a
-1
√
¢ ¡
¢
¡ √
saber x, 1 − x2 y x, − 1 − x2 . Entonces con la
ambiguedad de un signo podemos determinar el ángulo del cuál x es el coseno. Si
escogemos la parte superior del círculo unitario obtenemos una función, llamada arcocoseno y léida “el arco cuyo coseno es ...”
arccos : [−1, 1] → [0, π]

¼

definida por
cos (arccos (x)) = x.
La ambigüedad surge al componer en el otro sentido,
pues para θ ∈ [−π, π] se tiene arccos (cos (θ)) = ±θ.
Obsérvese que entonces la mitad superior del círculo unitario se describe como la
gráfica de la función x 7→ sen (arccos (x)).
-1

0

1

EJERCICIO 1.78 Demuestra (usando que definimos u (θ) ∈ S1 ) que para cualquier θ ∈ R
se cumplen
−1 ≤ cos θ ≤ 1

−1 ≤ sen θ ≤ 1

EJERCICIO 1.79 Demuestra que para cualquier θ ∈ R se cumplen
cos (θ + π/2) = − sen θ cos (θ + π) = − cos θ cos (−θ) = cos θ
sen (θ + π/2) = cos θ sen (θ + π) = − sen θ sen (−θ) = − sen θ
EJERCICIO 1.80 Construye una tabla con los valores de las funciones cos y sen para
los ángulos 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 5π/4, 3π/2, −π/3, −π/4, y dibuja los
correspondientes vectores unitarios.
3

Dados a, b ∈ R, con a ≤ b, denotamos por [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} al intervalo cerrado entre
a y b.

2¼

2¼