1.9. NORMA Y ÁNGULOS

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Nótese que el exponente se refiere a la dimensión de la
esfera en sí, y que ésta necesita una dimensión más para
S2
“vivir”. Así, la esfera de dimensión 2 vive en R3 , y es la representación abstracta de las pompas de jabón. Más adelante
la estudiaremos con cuidado. Por lo pronto nos interesa el
círculo unitario.
Los puntos de S1 corresponden a los ángulos, y a estos
los mediremos con radianes. La definición formal o muy precisa de ángulo involucra necesariamente nociones de cálculo
que no entran en este libro. Sin embargo, es un concepto
muy intuitivo y de esa intuición nos valdremos. Un ángulo
es un sector radial del círculo unitario, aunque se denota
gráficamente como un arco chiquito cerca del centro para indicar que no depende
realmente del círculo de referencia, es más bien un sector de cualquier círculo concéntrico. Es costumbre partir el círculo completo en 360 sectores
iguales llamados grados. Resulta conveniente usar el número 360,
pues como 360 = 23 32 5 tiene muchos divisores, asi que el círculo se
puede partir en cuatro sectores iguales de 90 grados (denotado 90◦
y llamado ángulo recto) o en 12 de 30◦ que corresponden a las horas
del reloj, etc. Pero la otra manera de medirlos, que no involucra la
convención de escoger 360 para la vuelta entera, es por la longitud
del arco de círculo que abarcan; a esta medida se le conoce como
radianes. Un problema clásico que resolvieron los griegos con admirable precisión fué
medir la circunferencia del círculo unitario (de radio uno), es decir, cuanto mide un
hilo “untado” en el círculo. El resultado, como todos sabemos, es el doble del famoso
número π = 3.14159..., donde los puntos suspensivos indican que su expresión decimal
sigue infinitamente pues no es racional. Otra manera de entender a los radianes es
cinemática y es la que usaremos a continuación para establecer notación; es la versión
teórica del movimiento de la piedra en una honda justo antes de lanzarla.
Si una particula viaja dentro de S1 a velocidad constante 1, partiendo del punto
e1 = (1, 0) y en dirección contraria a las manecillas del reloj (es decir, saliendo
hacía arriba con vector velocidad e2 = (0, 1)) entonces en un tiempo θ estará en
un punto que llamaremos u (θ); en el tiempo π/2 estará en el e2 = (0, 1) (es decir,
u (π/2) = e2 ), en el tiempo π en el (−1, 0) y en el 2π estará de regreso
para empezar de nuevo. El tiempo aquí, que estamos midiendo con el
u(µ)
parametro θ, corresponde precisamente a los radianes, pues viajando
µ
a velocidad constante 1 el tiempo es igual a la distancia recorrida.
Podemos también darle sentido a u (θ) para θ negativa pensando
que la particula viene dando vueltas desde siempre (tiempo infinito
negativo) de tal manera que en el tiempo 0 pasa justo por e1 , es
decir, que
u (0) = (1, 0).