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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO
En R3 , con coordenadas v = (x, y, z), la norma se escribe
|v|2 = x2 + y 2 + z 2

z

que de nuevo, usando dos veces el Teorema de Pitágoras (en
los triángulos de la figura) y que la nueva dirección z es ortogonal al plano x, y , corresponde a la magnitud del vector v.
x
Demostremos primero el Teorema de Pitágoras para vectores en general. Este Teorema fué la motivación básica para
la definición de norma; sin embargo su uso ha sido sólo ese:
como motivación, no lo hemos usado formalmente sino para ver que la norma corresponde a la noción euclidiana de distancia al origen (magnitud de vectores) cuando
los ejes se toman ortogonales entre si. Ahora veremos que al estar en el trasfondo de
nuestras definiciones, estas le hacen honor convirtiéndolo en verdadero.
y

v

ju-vj

u

Teorema 1.9.1 (Pitágoras) Sean u y v dos vectores en Rn .
Entonces son perpendiculares si y sólo si

jvj

|u|2 + |v|2 = |u − v|2 .

juj
0

Demostración. De las propiedades del producto interior (y la definición de norma)
se obtiene
|u − v|2 =
=
=
=

(u − v) · (u − v)
u·u+v·v−u·v−v·u
u · u + v · v − 2 (u · v)
|u|2 + |v|2 − 2 (u · v)

Por definición, u y v son perpendiculares si y sólo si u · v = 0 y entonces el teorema
se sigue de la igualdad anterior.
¤
Asi que nuestra definición de perpendicularidad (que el producto punto se anule)
corresponde a que el Teorema de Pitágoras se vuelva cierto. Y entonces nuestra
manera informal de llamar, en R3 , a las soluciones de la ecuación u · x = 0 “el plano
normal a u”, ahora tiene sentido. Pues por el Teorema anterior, u · x = 0 si y sólo si
los vectores u y x son los catetos de un triángulo que cumple el Teorema de Pitágoras
y por tanto es rectángulo.
Las propiedades básicas de la norma se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 1.9.2 Para todos los vectores v, u ∈ Rn y para todo número real t ∈ R se
tiene que: