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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

EJERCICIO 1.67 Demuestra que dos vectores u y v en R2 son linealmente independientes
si y sólo si R2 = hu, vi.
EJERCICIO 1.68 A cada terna de números reales (a, b, c), asociale la ecuación a x + b y = c.

i) ¿Cuáles son las ternas (como puntos en R3 ) a las que se le asocian rectas en R2
por su ecuación normal?
ii) Dada una recta en R2 , describe las ternas (como subconjunto de R3 ) que se
asocian a ella.
iii) Dado un haz de rectas paralelas en R2 , describe las ternas (como subconjunto
de R3 ) que se asocian a rectas de ese haz.
iv) Dado un haz de rectas concurrentes en R2 , describe las ternas (como subconjunto de R3 ) que se asocian a las rectas de ese haz.

1.8.2

Teoremas de concurrencia

En esta sección, aplicamos la ecuación normal de las rectas
para demostrar uno de los teoremas clásicos de concurrencia
de líneas, dejando el otro como ejercicio.
La altura de un triángulo es la recta que pasa por uno de
sus vértices y es ortogonal al lado opuesto.
Teorema 1.8.5 Las alturas de un triángulo son concurrentes.

c

´b

´a

b
a

´c

Demostración. Dado un triángulo con vértices a, b, c, tenemos que la altura por
el vértice a, llamémosla ηa (“eta-sub-a”), está definida por
ηa :

(c − b) · x = (c − b) · a

pues es ortogonal al lado que pasa por b y c, que tiene dirección (c − b), y pasa por
el punto a. Análogamente:
ηb :
ηc :

(a − c) · x = (a − c) · b
(b − a) · x = (b − a) · c

Obsérvese ahora que la suma (lado a lado) de dos de estas ecuaciones da precisamente el negativo de la tercera. Por ejemplo, sumando las dos primeras obtenemos
(c − b) · x + (a − c) · x = (c − b) · a + (a − c) · b
(c − b + a − c) · x = c · a − b · a + a · b − c · b
(a − b) · x = (a − b) · c
Asi que si x ∈ ηa ∩ η b , entonces cumple las dos primeras ecuaciones y por tanto
cumple su suma que es “menos” la ecuación de ηc , y entonces x ∈ η c . Asi que las
tres rectas pasan por el mismo punto.
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