46

CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

que es justo el Lema 1.6.1.
EJERCICIO 1.54 Es cribe en coordenadas (u = (a, c), v = (b, d)) cada uno de los pasos
anteriores para ver que corresponden al método clásico de eliminación. (Quizá te conviene
escribir a las parejas como columnas, en vez de renglones, para que el sistema de ecuaciones
sea claro).

La ecuación lineal homogénea
Ahora sí, describamos al conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea:
u · x = 0.

u
Lu

?

u?

0

Proposicion 1.7.1 Sea u ∈ R2 \ {0}, entonces
ª
©
x ∈ R2 | u · x = 0 = Lu⊥ ,
©
ª
donde, recuérdese, Lu⊥ = t u⊥ | t ∈ R .

Demostración. Tenemos que demostrar la igualdad de dos conjuntos. Esto se hace
en dos pasos que corresponden a ver que cada elemento de un conjunto está también
en el otro.
La contención más fácil es “⊇”. Un elemento de Lu⊥ es de la forma t u⊥ para
algún t ∈ R. Tenemos que demostrar que t u⊥ está en el conjunto de la izquierda.
Para esto hay que ver que satisface la condición de pertenencia, que se sigue de (ii)
en el Lema anterior, y (ii) en el Teorema 1.7.1:
¡
¢
¡ ¢
¡
¢
u · t u⊥ = u · t u⊥ = t u · u⊥ = 0.

Para la otra contención, tomamos x ∈ R2 tal que u · x = 0 y debemos encontrar
t ∈ R tal que x = t u⊥ . Sean a, b ∈ R las coordenadas de u, es decir u = (a, b) y
analogamente, sea x = (x, y). Entonces estamos suponiendo que
ax + by = 0.

Puesto que u 6= 0 por hipótesis, tenemos que a 6= 0 o b 6= 0; y en cada caso podemos
despejar una variable para encontrar el factor deseado:
a 6= 0 ⇒ x = −

by
a

y por lo tanto
x = (x, y) =

³y ´
y
(−b, a) =
u⊥ ;
a
a