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CAPÍTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

base a aquel (aunque se verá tambien que estas dos juntas lo definen). El producto
interior depende tan intimamente de la idea cartesiana de coordenadas, que no tiene
ningún análogo en la geometría griega. Pero tampoco viene de los primeros pininos
que hizo la geometría analítica, pues no es sino hasta el Siglo XIX que se le empezó a
dar la importancia debida al desarrollarse las ideas involucradas en la noción general
de espacio vectorial. Podría entonces decirse que el uso del producto interior (junto
con el lenguaje de espacio vectorial) marca dos épocas en la geometría analítica. Pero
es quizá la simpleza de su definición su mejor tarjeta de presentación.
Definición 1.7.1 Dados dos vectores u = (u1 , u2 ) y v = (v1 , v2 ), su producto interno
(también conocido como producto escalar –que preferimos no usar para no confundir
con la multiplicación por escalares– o bien como producto punto) es el número real:
u · v = (u1 , u2 ) · (v1 , v2 ) := u1 v1 + u2 v2 .
En general, en Rn , se define el producto interior (o el producto punto) de dos vectores
u = (u1 , ..., un ) y v = (v1 , ..., vn ) como la suma de los productos de sus coordenadas
correspondientes, i.e.,
u · v := u1 v1 + · · · + un vn =
Asi, por ejemplo:

n
X

ui vi .

i=1

(4, 3) · (2, −1) = 4 × 2 + 3 × (−1) = 8 − 3 = 5,
(1, 2, 3) · (4, 5, −6) = 4 + 10 − 18 = −4.
Obsérvese que el producto interior tiene como ingredientes dos vectores (u, v ∈
R ) y nos da un escalar (u · v ∈ R); no debe confundirse con la multiplicación escalar,
que de un escalar y un vector nos da un vector, excepto en el caso n = 1 en el que
ambos coinciden con la multiplicación de los reales.
Antes de demostrar las propiedades básicas del producto interior, observemos
que nos será muy útil para el problema que dejamos pendiente sobre sistemas de
ecuaciones. Pues en una ecuación lineal con dos incógnitas, x y y digamos, aparece
una expresión de la forma ax + by con a y b constantes. Si tomamos un vector
constante u = (a, b) y un vector variable x = (x, y), ahora podemos escribir
n

u · x = ax + by
y el “paquete básico” de información está en u. En particular, como la mayoría de
los lectores ya lo deben saber, la ecuación lineal
ax + by = c
dónde c es una nueva constante, define una recta. Con el producto interior esta
ecuación se reescribe como
u · x = c,