1.5. MEDIO QUINTO

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La parte que falta demostrar del Quinto es la unicidad, es decir, que cualquier
otra recta que pase por q sí intersecta a `; que la única paralela es `0 . Esto se sigue
de que rectas con vectores direccionales no paralelos siempre se intersectan, pero
pospondremos la demostración formal de este hecho hasta tener más herramientas
conceptuales. En particular, veremos en breve cómo encontrar la intersección de
rectas para ejercitar la intuición, pero antes de entrarle, recapitulemos sobre la noción
básica de esta sección, el paralelismo.
De la demostración del teorema se sigue que dos rectas con la misma dirección
(o, lo que es lo mismo, con vectores direccionales paralelos) o son la misma o no se
intersectan. Conviene entonces cambiar nuestra noción conjuntista de paralelismo a
una vectorial.
Definición 1.5.3 Dos rectas `1 y `2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si tienen
vectores direccionales paralelos.
Con esta nueva definición (que es la que se mantiene en adelante) una recta es
paralela a sí misma, dos rectas paralelas distintas no se intersectan (son paralelas en
el viejo sentido) y la relación es claramente transitiva. Así
que es una relación de equivalencia y las clases de equivalencia corresponden a las clases de paralelismo de vectores (las
rectas agujeradas por el orígen). Llamaremos haz de rectas
paralelas a una clase de paralelismo de rectas, es decir, al
conjunto de todas las rectas paralelas a una dada (todas paralelas entre sí). Hay tantos haces de rectas paralelas como
hay rectas por el orígen, pues cada haz contiene exactamente
a una de estas rectas que, quitándole el origen, está formada
por los posibles vectores direccionales para las rectas del haz.
Además, nuestra nueva noción de paralelismo (1.5) tiene la gran ventaja de que se
extiende a cualquier espacio vectorial. Nótese primero que la noción de paralelismo
entre vectores no nulos se extiende sin problema a R3 , pues está en términos del producto por escalares; y luego nuestra noción de paralelismo entre rectas se sigue de la
de sus vectores direccionales. Por ejemplo, en el espacio R3 corresponde a nuestra noción intuitiva de paralelismo que no es conjuntista. Dos rectas pueden no intersectarse
sin tener la misma dirección.
EJERCICIO 1.44 Da la descripción paramétrica de dos rectas en R3 que no se intersecten
y que no sean paralelas.
EJERCICIO 1.45 (Quinto D3)Demuestra que dados un plano Π en R3 y un punto q fuera
de él, existe un plano Π0 que pasa por q y que no intersecta a Π.